二元一次方程组与一次函数

“二元一次方程与一次函数”教学设计思路

 

一、教材理解

本节课主要是将二次函数与一次函数联系起来，那么我们首先要考虑方程和函数这两个概念及其相关知识有哪些联系和区别呢？

1. 对象所刻画的情境（与应用相联系）

2. 表达式（关系式）（教材中没有明确的任务）

3. 方程的解与函数的图象上的点（教材中的一个部分的任务）

4. 方程组的解与函数的图象的交点（教材中“做一做”）

（拓展：图象平行与方程组无解的情形。教材中“想一想”）

本节课主要关注（3）和（4），但以（2）为基础和中介。

二、教学设计思路

【复习导入】

上一章我们学习了一次函数，这一章学习了二元一次方程，你们觉得它们之间有联系吗？我们今天就来探究它们的关系。首先，请大家回忆一下它们的相关知识。

1. 请问一次函数有哪些知识？你能举一个一次函数的例子吗？（非正比例函数使一次函数具有代表性）

可以引导学生从下面几个方面复习。

（1）概念：自变量、因变量、变化关系为y=kx＋b（k，b为常数，k≠0）；

（2）表示方法：关系式、表格和图象；

（3）应用：用来表示满足一次函数关系的变化过程的实际问题。

例子：比如y=5－x

2.二元一次方程学过哪些知识？你能举一个二元一次方程的例子吗？

（1）概念：含有两个一次未知数的方程；

（2）方程的解：满足等式未知数的值；

（3）应用：二元一次方程组的解的应用。

例子：比如x＋y=5

【探究1】一次函数与二元一次方程的关系

今天就首先探讨这两个概念及其相关知识之间的联系，主要是从（1）（2）两个方面展开。如果这种联系探究清楚了，应用之间的联系也就清楚了。

活动1：请选择你所列举的一次函数（老师可以选择某个同学的，或者教材上一次函数y=5－x为例），作出它的图象，然后思考并讨论下列问题：

（1）它是一个二元一次方程吗？如果是，为什么？如果不是，可以变成二元一次方程吗？

（2）你能写出几个（1）中的一元二次方程的解吗？这些解与对应的一次函数及其图象有什么关系呢？（提示：方程的解是如何解出的？一次函数图象的点是如何作出的？）

（3一次函数图象上的点P的坐标（设为（x₀，y₀））应该满足什么条件？它和对应的一元二次方程有什么关系呢？为什么？

【设计意图与问题理解】

这三个问题是针对一次函数与二元一次方程之间的关系设置的，但是是以学生作一次函数的图象为基础的。教学中，让学生先思考，然后讨论，针对上述三个问题中，引导学生通过问题的解决，得出相应的结论，最后得出一般性的结论（见后面的分析或教材中的结论）。下面针对这三个问题分析二者之间的关系的理解，教师可以基于这些理解，在教学过程中，根据学生的探讨的情况，给学生进行必要的提示。

（1）两个表达式有什么联系？

问题（1）是针对二者的关系式（或表达式）的问题。一次函数与二元一次方程只是在表现形式不同，但可以通过代数式恒等变形变成一样，因此二者本质是一样的，因此可以说二元一次方程就是一个一次函数（但需要给学生提醒注意：不是所有的方程都是函数）。一次函数的两个变量就是二元一次方程的两个未知数，而函数表达式也是一个等式，因此，任何函数的代数关系式都可以看成方程（当然，也不是任何函数都有代数关系式）。

结论：一次函数与二元一次方程的表达式本质上是相同的。

（2）二元一次方程的解与一次函数有什么关系？

二元一次方程是一个不定方程，有无穷多个实数解，但在得到每一个解时，通常是先取一个x的值，然后在解出y。因此，问题（2）中，先让学生写出几个解，通过求解的过程来体会解的来源。这个过程实质上是与一次函数取值列表，得到一次函数图象上点的坐标的过程是一致的。希望学生从这个过程来体会二者之间的关系。

结论：1）由二元一次方程的一个解就是对应的一次函数x与y的一组对应值；2）二元一次方程的一个解也是对应一次函数图象上点的坐标。

（3）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程有什么关系？

函数图象是函数的一种重要的表示方式，它直观地体现了函数的几何性质。图象是由什么构成的呢？是由图象上的点构成的，因此研究函数的图象要研究函数图象上的点。

首先，函数图象是如何作出的呢？经典步骤是：列表、作点、连线，列表确定了点的坐标，而连接点就构成了图象。因此，关键在于列表中的值是如何确定的。进一步分析列表中x、y的取值过程是怎样的。这一过程与方程求解的过程是一样的，即：先取x的值（在范围内任意取值），通过函数关系式解出y，从而得到每一个x对应的y值。这一过程说明了什么呢？说明了图象上的点最初是这样得到的，这些点就是对应一元二次方程的根。

然后，指出图象的任一点都是可以通过这样的方式得到（可以证明，但这个阶段学生是无法也可能不能理解证明过程），也就是说任意一点P（x₀，y₀）都要满足一次函数关系式，即：y₀=5－x₀，也就是说满足二元一次方程：x₀＋y₀=5，即是说（x₀，y₀）是方程x＋y=5的解。

注：这个过程老师并不一定要分析这样细致，可以直接问图象上的点的坐标应该满足什么关系，即一次函数的关系式即可，通过变换代数关系式让学生体会到点的坐标就是方程的解。

结论：一次函数图象上的点的坐标就是对应的二元一次方程的解。

一般地：一个二元次方程可以看成一个一次函数，方程的解就是对应一次函数图象上点坐标，因此一次函数的图象也可以说是对应的二元一次方程的图象。

【探究2】二元一次方程组的解与一次函数图象的关系

前面的探究让我们认识到：二元一次方程的解与一次函数图象上的点对应起来，那么二元一次方程组的解与它们对应的一次函数图象有什么关系呢？

活动2：选择两个二元一次方程（或一次函数）构成一个二元一次方程组。请解出这两个二元一次方程组的解，并在同一个坐标系中画出两个方程对应的一次函数的图象。（可以两个同学一组，一个同学求方程组的解，一个同学作图）（见学案单）

思考：（1）方程组的解与函数的图象有什么关系吗？

方程组的解就是图象交点的坐标（或者图象交点的坐标就是方程组的解）

（2）怎样解释这种关系？

解释1：从求解的过程来看，函数图象的交点的坐标是根据一次函数的关系式消变量求解的，实质就是解相应的二元一次方程组的解的过程，因此交点坐标就是方程组的解；

解释2：函数图象上的交点的坐标要满足两个一次函数关系式，因此它也就满足方程组的两个方程，因而也就是方程组的解；

结论：通过求二元一次方程组的解就可以求得对应一次函数图象的交点的坐标。

在得到这个结论后，可以做“随堂练习”1.

（3）在什么情况下，两直线（一次函数图象）平行？（或者当两直线平行时，方程组是一种什么情况？）

首先，看同学之间有没有得到两条直线平行的情形。如果没有，就让学生看教材中“想一想”的问题。

发现：对应的方程（或一次函数）的未知数（或对应的变量）系数成比例，则两个方程无解（函数图象平行）。

（如果，学生能够发现这个结论，可以用“随堂练习”2巩固一下。）

 

说明：希望本节课，完全探究两个概念之间的联系，而把课后习题5.7作为后测题，检验一下，通过概念理解，能否解决习题。

“二元一次方程与一次函数”课业单

学校                班级               姓名               学号         

一、回顾与复习

1. 请问你学了哪些一次函数的知识（在头脑里回忆一下，最重要的是什么？），然后举一个一次函数的例子写在下面（非正比例函数）

 

2. 请问你学了哪些二元一次方程的知识（在头脑里回忆一下，最重要的是什么？），然后举一个二元一次方程的例子（要有代表性）