用图象表示的变量间关系

3.3图象表示变量间的关系教案说明和点评

（一）教案说明

一、总体认识

1.基本性质与作用

本课用图象表示两个变量之间的关系是一种新方法，同时又是思想方法蕴含很丰富的课题，对后继的坐标系和函数学习都具有铺垫作用。因此学生既要完成基本知识与技能的学习，又要在基础学习上对数学思想方法有所领悟和体会。要实现这一点，其核心是数学学习活动中要充分推动学生的思维品质的发展。

2.教学任务思路

本课由三个环节组成，教学活动也就是由三个数学任务组成，即复习、活动1和活动2。总体上来看，设计活动1是以第一个例子为铺垫，由教师引导学生正确读图，并通过一些基本训练掌握表达图象上信息的方法。活动2是一个开放性问题，让学生去发现图象上的信息，并正确表达，进一步通过图象上的信息和数量关系的综合，去理解图象上“形”与“数”之间的信息关联。

3.教学策略思路

在教学策略上，本课的教学要注意以下三个方面：

（1）如何引导学生去发现图象中蕴含的信息；

（2）如何引导学生正确去表达这些信息；

（3）如何引导学生把“形”与“数”的信息联系起来。

4.思维品质发展的核心

核心是数学对象的多层次“关联”，表现在下面三个层面：

（1）点与基本变量之间的关联：A每一个点对应了两个变量；B每一个自变量可以通过图象上的点来确定因变量；C由每一个因变量，通过图象找到因变量（当然有多个）。这是图象中数与形最基本的关联。

（2）图象特征（直观的）与变量关系的关联：A图象最高点与最低点与变量的极值关联；B图象的上升与下降与变量增减变化的关系；C图象的陡缓与变量变化快慢的关联。

（3）图象表示的变量关系与前面两个表示方法之间的关联：图象与表格的关系；图象与关系式的关系（可以提出一些思考问题）。

这三个关联都是数学内部的关联，从思想方法来说，是一种纵向的数学化。当然，在教学中，这几种关联未必要清晰体现，也不一定是要全部体现（比如第（3）个层面），但是可以在教学任务的活动中，渗透这些思维点。

（3）图像的信息的意义与对应的情景中现实问题相关联。比如，天气的变化可以联系到季节；骆驼的体温变化与生理特征相联系（体温与环境温度一致，散热较小，蒸发的水分就较少，因为体温过高是靠蒸发水分来降低体温的）；骆驼体温与前面气温的变化关系。又如，船进港口的吃水深度受潮汐的影响。

这是数学信息与外部情景信息相联系，是一种水平数学化。

1. 细节说明

   活动1：

      1.在教学中的目的和作用

   活动1要达到学生知识与技能的基础学习，掌握基本的读图的方法，并为活动2做铺垫，为活动2奠定探究范畴和方法的基础。

   2.问题设计的三个层次：

   第一层次：读出图象上点的信息；

   第二层次：读出图象上一段的信息：上升、下降、快慢……；

   第三层次：图象的特征与数值变化的关系。

   前面两个层次是为活动2提供知识和研究方向的基础，第三个层次则为活动2提供了研究方法。

1. 教案说明：

        本任务是学案单中的第二个任务。本任务是根据教材的第一个问题稍微改编形成。一是把提问的形式改为填空的形式，便于学生在学案单上作答；二是增加了（1）问中标出图中的点，并把教材中第（5）问提到第（2）问，强化学生对图象上点的含义的认识，于是在第（2）后增加了一个一般性的归纳性问题：点和曲线的含义；三是把原第（4）问中的气温上升和下降的特征问题改变成一个开放性的问题，成为第（5）问，让学生自己观察图象，判断图象中气温变化的规律。本任务是本节课的主要教学任务之一，是学生学习读图的基础，因此要点较多，问题也比较具体。目的是使学生学会读图（从几何图象中读出图象的基本信息），懂得横轴和纵轴的含义，这些主要在前面4问上表现。在此基础上，然后进一步探讨图象的几何直观特征，这在第（5）问上表现。 

    

   3.具体教学要求：

   1.知识与技能层面：由于图象是表达变量关系最基本的方法之一，是一种新方法，要求学生学会从图象上读出基本信息的基础知识和基本技能。其具体要求包括：

   （1）由自变量找因变量（拓展：由因变量找自变量，但不一定唯一）；

   （2）由图上的点读出自变量和因变量；

   （3）读出图上最高点与最低点等信息。

   （4）在此基础上，介绍“横轴”与“纵轴”的含义，并归纳总结图象上点以及图象的意义。

   这一层面的要求是为进一步讨论图象特征（或规律）的工具基础和方法基础。

   2.思想方法层面：（1）理解点与两个变量的关系：其一是每一个点关联着两个变量，即图象上形的要素“点”就与数的要素“变量值”联系起来了，蕴含了解析几何的坐标思想；其二是自变量与因变量通过点建立了联系，即相互可以通过点来找到。（2）理解图象实质是点在图象上运动变化，当点在图象上的变化过程就反映了两个变量的变化关系，即图象直观地表现了函数的变量关系。

   3.思维活动层面：（1）把图象上的点与变量的数值关联起来；（3）把图象的变化特征与所反映变量的变化关系关联起来；（3）图象这种表达变量的关系与与其他两种表达方式的联系起来。

   活动2：

   本活动是任务的主要部分，也是一个开放性的问题。这个任务有三个要点（对应活动1的三个层次）：第一，从图象上直接读出基本信息：最低，最高，温差等；第二，从图象上读出图象特征信息（图象的直观特征）：下降、上升、周期性；第三，图象特征背后的数据特征。