2. 2.1 向量的加法运算及其几何意义

2. 2.1  向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

教学难点：理解向量加法的定义.

学   法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教   具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学过程：

一、设置情景：

1、    复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、  

A      B          C情景设置：

（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

C  A          B   则两次的位移和：

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

A         B

C   则两次的位移和：

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

A             B

C   则两次的位移和：

（4）船速为 ，水速为 ，则两速度和：

二、探索研究：

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点 ，作 ＝a， ＝ｂ，则向量 叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ ，规定：      a + 0-= 0 +

a

a a

A

B

C

a+b

a+b

a

a

b

b

a

ｂ

ｂ

ａ＋ｂ

a

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + |<| |+| |；

O

A

B

a

a

a

b

b

b（3）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |，当 与 反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |；若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| +b|=| |-| |.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加

３．例一、已知向量 、 ，求作向量 +

  作法：在平面内取一点，作   ，则 .

４．加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中 + 的结果与 + 是否相同？    验证结果相同

从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

     ２）向量加法的交换律： + = +

５．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )

证：如图：使 ， ，

则( + ) + = ， + ( + ) =

∴( + ) + = + ( + )

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

三、应用举例：

例二（P94—95）略

练习：P95

四、小结  

1、向量加法的几何意义；

２、交换律和结合律；

３、注意：| + | ≤ | | + | |，当且仅当方向相同时取等号.

五、课后作业：

P103第２、３题

六、板书设计（略）

2.2.1  向量的加法运算及其几何意义

课前预习学案

预习目标：

通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。

预习内容：

1、  复习：提问向量的定义以及有关概念。

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

A      B          C2、情景设置：

（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

C  A          B   则两次的位移和：                       。

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

A         B

C   则两次的位移和：                      。

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

A             B

C   则两次的位移和：                       。

（4）船速为 ，水速为 ，则两速度和：

                                        。

3、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

学习目标

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

学习过程：

１、向量的加法：                           叫做向量的加法.

２、三角形法则（“                     ”）

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点 ，作 ＝a， ＝ｂ，则向量 叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ ，规定：                           。  

A

B

C

a+b

a+b

a

a

b

b

a

ｂ

ｂ

ａ＋ｂ

a

探究：（1）两相向量的和仍是            ；

（2）当向量 与 不共线时， + 的方向       ，且| + |   | |+| |；

O

A

B

a

a

a

b

b

b（3）当 与 同向时，则 + 、 、       且| + |   | |+| |，当 与 反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |   | |-| |；若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| +b|    | |-| |.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加

３．例1、已知向量 、 ，求作向量 +

 

作法：

４．加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中 + 的结果与 + 是否相同？    

从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

     ２）向量加法的交换律：                    

５．向量加法的结合律：                              

证：

6、应用举例：

例二（P94—95）

练习：P95