2. 3.2抛物线的简单几何性质

（一）学习目标：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；

3．在对抛物线几何 性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .

（二）学习重点：抛物线的几何性质及其运用

（三）学习难点：抛物线几何性质的运用

（四）学习过程：

一、复习引入：（回顾并填表格）

1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做      . 定点F叫做抛物线的     ，定直线 叫做抛 物线的      .

图形

方程

焦点

准线

2．抛物线的标准方程：

相同点：

不同点：

二、讲解新课：

类似研究双曲线的性质的过程，我们以 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：

1．范围

2．对称性

3．顶点

4．离心率

对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表）

标准方程

图形

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

注意 的几何意义：

思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）

三、例题讲解：

例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.

（思考用不同方法求解）

变式训练：过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 , 两点，若 ，求 。

点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：

四、达标练习：

1．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 =（  ）

（A）10         （B）8             （C）6            （D）4

2．已知 为抛物线 上一动点， 为抛物线的焦点，定点 ，则 的最小值为（  ）

（A）3             （B）4              （C）5            （D）6

3．过抛物线 焦点 的直线 它交于 、 两点，则弦 的中点的轨迹方程是 ______          

4.定长为 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动，求 中点 到 轴距离的最小值，并求出此时 中点 的坐标.

参考答案：1. B 2. B 3.  4.   , M到 轴距离的最小值为 .

五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.  

六、课后作业：

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．

（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于　          .

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

4．以椭圆 的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

习题答案：

1．（1）y2＝±32x    （2）x2＝8y     （3）x2＝－8y  

2．90°  3．x2＝±16 y  4．    5． 米

七、板书设计（略）