推理与证明经典习题

1． “三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈是三角函数，所以y＝tanx，x∈是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是(　　)

A．推理完全正确　　　　                             B．大前提不正确

C．小前提不正确                                             D．推理形式不正确

[答案]　D

[解析]　大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．

2．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝(　　)

A．                                           B．

C．                                           D．

[答案]　C

[解析]　将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S₁、S₂、S₃、S₄，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.

证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S₁r＋S₂r＋S₃r＋S₄r，∴r＝.

3．已知整数的数列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)

A．(3,8)                                                              B．(4,7)

C．(4,8)                                                              D．(5,7)

[答案]　D

[解析]　观察可知横坐标与纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，…，依此类推和为n＋1的数对有n个，和相同的数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由＝60⇒n(n＋1)＝120，n∈N，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，

所以第60个数对是(5,7)．

4．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(　　)

A．a　                                                          B．a　

C．a　                                                          D．a

[答案]　B

[解析]　将正三角形一边上的高a类比到正四面体一个面上的高a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．

5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　)

A．①                                                                 B．②

C．③                                                                  D．①②

[答案]　B

[解析]　由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.

6、以下推理过程省略的大前提为：________.

∵a²＋b²≥2ab，

∴2(a²＋b²)≥a²＋b²＋2ab.

[答案]　若a≥b，则a＋c≥b＋c

[解析]　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a²＋b²，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.

7．以下推理中，错误的序号为________．

①∵ab＝ac，∴b＝c；

②∵a≥b，b>c，∴a>c；

③∵75不能被2整除，∴75是奇数；

④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.

[答案]　①

[解析]　当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．

8．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________．

[答案]　如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

9．下面给出判断函数f(x)＝的奇偶性的解题过程：

解：由于x∈R，且

＝·

＝＝＝－1.

∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．

试用三段论加以分析．

[解析]　判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若x∈R，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．

10．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m为实数，求证：方程x²－2mx＋m²＋1＝0没有实数根．

[解析]　已知方程x²－2mx＋m²＋1＝0的判别式Δ＝(－2m)²－4(m²＋1)＝－4<0，所以方程x²－2mx＋m²＋1＝0没有实数根．

说明：此推理过程用三段论表述为：

大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；

小前提：一元二次方程x²－2mx＋m²＋1＝0的判别式Δ<0；

结论：一元二次方程x²－2mx＋m²＋1＝0没有实数根．

解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．