§2.1 二次函数所描述的关系

                                                        第二章  二次函数

§2.1  二次函数所描述的关系

课时安排      1课时

   本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．

   让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．

   在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想．

第一课时

课    题               §2．1  二次函数所描述的关系

教学目标：

   (一)教学知识点

1．探索并归纳二次函数的定义．

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

   (二)能力训练要求

   1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

   2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．

   3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．

   (三)情感与价值观要求

   1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

   2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．

   3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．

教学重点：

   1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

   2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

教学难点：

   经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．

教学方法： 讨论探索法．

教具准备：

   投影片二张

   第一张：(记作§2．1 A)

   第二张：(记作§2．1 B)

教学过程：

   Ⅰ．创设问题情境，引入新课

   [师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?

[生：刘宇]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．

（复习已经学习过的函数，同时找班上基础不好的学生回答，反馈知识的掌握情况）

[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗?

   [生：张世林]记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

  （通过对函数定义的描述，不要求语言一定准确，明白函数的本质即可）

[师]能把学过的函数回忆一下吗?

   [生：王康]可以，

   一次函数y=kx+b．(其中k、b是常数，且k≠0)

   正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．

反比例函数y=

(A是不为0的常数)．

（对已经学过的函数，进行描述，达到复习作用）

[师]很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．

（通过复习旧知，并提出新问题，激发学生的思考热情）

   Ⅱ．新课讲解

   一、由实际问题探索二次函数关系

   投影片：(§2．1 A)

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?

(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?

(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．

   [师]请大家互相交流后回答．

[生：李佳](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．

（若她的回答不完整，可有其他同学补充）

[生：蔡亚兰] (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．

（大家在一起共同描述，设和分析过程）

  [生：李岚] (3)如果果园橙子的总产量为y个，则    y=(x+100)(600-5x)＝-5x2+100x+60000．

   [师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗?

   [生一起]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．

   但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数．

   二、想一想

   在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多?

   [师]请大家发表自己的看法．

   [生：张浩]在函数y=-5x2+100+60000中，因为一次项系数100大于二次项系数-5，因此当x越大时，y的值越大．

[生：熊东]我不同意他的观点．因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此-5x2的绝对值要大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大．

（其他同学可以各抒己见）

   [师]大家说的都有道理，究竟是如何呢?我们不妨取一些特殊的数字验证一下．

   我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．

 x/棵

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 11

 12

 13

 14

 y/个

请大家先填表，再猜测．

[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．

（先独自计算，在以4人一小组，相互交流答案，发表各自意见）

   可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．

   [师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．

   三、做一做

   投影片：(§2. 1 B)

银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．

设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)，

 [师]首先我们要回顾一下有关名词，本金．利息，本息时，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗?

   [生]记得.

   本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和，利息＝本金×利率×期数(时间)．

   [师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．

[生：廖晓瑞]一年后的本息和为(100+100x·1)=100(1+x)．

（大家对她列的式子进行判断，在一起共同分析式子的由来）

   [师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．

   [生：廖晓瑞]y＝100(1+x)+100(1+x)x×l

   =100(1+x)+100(1+x)x

   ＝100(1+x)(1+x)

=100(1+x)2=100x2+200x+100．

   [师]在这个关系式中，y是x的函数吗?是x的什么函数?请猜想．

[生]因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数．再从函数的形式来看,y是x的二次函数．

(小组交流，最后由小代表发言)

   四、二次函数的定义

   [师]从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢?

   [生]一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic

function)．

   [师]很好，上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系S＝πr2也都是二次函数的例子．

   Ⅲ．课堂练习

   随堂练习(P36)

   Ⅳ．课时小结

   本节课我们学习了如下内容：

   1. 经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．

   2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．

   Ⅴ．课后作业

   习题2．1

   Ⅵ．活动与探究

   若y＝(m2+m)xm2-m是二次函数，求m的值．

   分析：根据：二次函数的定义，只要满足m2+m≠0，且m2-m=2，y=(m2+m)xm2-m就是二次函数．

   解：由题意得

   m2+m≠0，

m2-m=2．

m≠0或m≠-1,

解，得．

       m=2或m≠-1,

故若y＝(m2+m)xm2-m是二次函数，则m的值等于2．

板书设计

   §2．1  二次函数所描述的关系

一、1．由实际问题探索二次函数关系(投影片§2．1 A)

   2．想一想

   3．做一做(投影片§2．1 B)

   4．二次函数的定义

二、课堂练习

   随堂练习  

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

   参考例题

   1．用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2)与矩形一边长l(m)之间

的关系是什么?是函数关系吗?是哪一种函数?

   解：S=l(

-l)=l(30-l)=30l-l2=-l2+30l是二次函数关系式．

   2．下列函数中，哪些是一次函数?哪些是二次函数?

   (1)y=3(x-1)2+1；

   (2)y＝x+

；

   (3)y＝(x+3)2-x2；

(4)y=

-x

解：(1)y=3(x-1)2+1=3x2-6x+4；

   (3)y=(x+3)2-x＝x2+6x+9-x2＝6x+9；

   ∴(3)是一次函数，

   (1)是二次函数．