论文——高中数学解三角形教学现状调查报告——赵一凡

摘  要

本文注意到了解三角形一章在高中数学教学过程中的重要地位，因此对这一章节的教学现状进行调查。通过对学生进行测试，对成绩进行统计分析，对学生进行访谈，对教师进行访谈，笔者认为解三角形一章的教学需要从十个部分进行，这十个部分不仅注重培养学生掌握数学基础知识和基本方法，并且注重发展学生数学能力，拓展学生数学视野，提高学生数学素养。

关键词：解三角形；正弦定理；余弦定理

1．调查的意义

《解三角形》是人民教育出版设，高中数学A版，必修5中的第一章。教材中的这一章，虽然只有两节内容，它们是第1节正弦定理与余弦定理，第2节解三角形应用举例。就篇幅而言，这确实是教材中很不起眼的一章内容，然而，就解三角形这一章与其他知识点的联系来看，这一章却又体现出与其他章节的重要联系。就主要联系而言，解三角形这一章与其他章节之所以能够产生密不可分的联系，根本原因还是高中数学教学内容。

首先高中数学的内容大致可以被分为代数与几何，解三角形显然具有明显的几何特征。而高中数学中研究几何的方法又是多样的，有沿袭欧几里得创建的综合法的章节，有借助向量工具进行研究的章节，也有解析几何的章节，从这些内容的设置上我们可以看到，高中数学对于几何知识的研究方法是多样的，从而，任何一个几何知识，就可能有多种处理方法，从而使得解三角形一章与平面向量，立体几何，解析几何，平面几何选讲等知识产生了联系。

其次，在高中数学中，我们不能将解三角形看成一个独立的章节，可以说高中数学必修4的所有内容包括三角函数，平面向量，三角恒等变换，以及必修5的第1章，即解三角形，它们是组成高中数学教学内容的一个板块。它们彼此之间融会贯通，首先要掌握三角函数的概念、图象、性质，才能够理解三角恒等变换中的各种公式，掌握了这两点才能灵活自如的运用正弦定理和余弦定理解三角形，以及对正弦定理和余弦定理的灵活运用。

最后，虽然解三角形一章属于几何部分，但是数形结合的思想，以及利用数学结合方法处理问题的模式，是高中数学教学的又一内容，这里所教的不在拘泥于知识点本身，可以看做是数学素养的教学，培养的是学生的数学能力，传授给同学们的是数学方法，渗透给同学们的是数学思想。这些事实导致了解三角形这样一个综合性强的章节，不可能不与代数方面的知识产生联系，例如函数，不等式甚至数列、概率这些章节都有可能与解三角形产生联系。不过，我们在这里要讨论的还是那些联系起来很自然，应用起来很广泛的联系，比如解三角形与函数，以及不等式。

从上面的这些，足以体现出解三角形这样一个短短的章节在高中数学中的重要地位。足以让我们看到解三角形的教学价值。我们只有厘清解三角形的主要教学内容，才能将他们按照逻辑顺序安排教学活动；我们只有摸清楚解三角形的教学重点和难点，才能在课堂上进行有效地教学；我们只有积累足够典型的解三角形应用案例，才能让学生更加深入的理解解三角形的方法与应用；我们之有摸清楚学生学习解三角形的困难之处，才能进行有针对性的课堂教学，安排有针对性的课内外练习。

另外，解三角形一章还是高考数学的必考点，具有良好的区分度。近年来，高考数学解三角形试题一般会出现一个，它的难度也不固定，但是具有以下规律：在选择题中，如果出现在前6个题目中，则考查内容就是正弦定理与余弦定理的简单运用，简单的解三角形问题；如果出现在选择题靠后的位置，一般会和函数的知识交汇，要用到三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的知识；在填空题中，常常与数列交替出现在填空题最后一个，有一定的综合性与难度；在解答题中也与数列解答题交替出现在第一个解答题的位置，难度中等，常常考查正弦定理和余弦定理的运用，不过这里的运用往往有一定的灵活性，不是简单的套用，或者与函数相结合。解三角形还常常与圆锥曲线等结合命题，在立体几何中充当求线段长度或者角的大小的工具，还可以作为其他几何问题的非最佳解法出现。从此可见，教好解三角形一章，让学生学好解三角形一章，对于学生数学综合能力的提高很有帮助，能够帮助学生将高中大范围的知识融会贯通，在高考中发挥着不可小觑的作用。

最后，通过解三角形的教学研究，对老师们是有帮助的。能够为中学教师形成可参考的解三角形教学内容选取意见，教学设计意见，以及可信度教好的教学测试材料，帮助老师们提高教学质量，有助于教研交流的展开，已达到抛砖引玉之效。

2．调查过程

2．1学生测试统计分析

为了掌握学生对解三角形一章知识的掌握情况，我们设计了一套测试题（见附录），这套测试题是针对高三学生的，其原因是里面涉及到了立体几何与解析几何的知识，如果抛去这两个问题，那么对于高一完成解三角形教学的学生也可以进行测试，为了得到整个高中新课教学完成后学生对解三角形的问题解决能力，我们添加了立体几何中的解三角形和解三角形与解析几何这两个问题，在我们前面的文中也有这两个部分。我校高三年级共22个教学班，分层教学为两个层次，其中第一个层次有3个称为清北班的班级的学生成绩明显优秀于其他称为普通班的班级，而普通班级，即第二层次的班级不再分层教学，各班学生学习情况大致相同，因此，我们将测试题交给11个普通班级，每班随机10人，共110人，进行统计，我们将每个小问都设置为10分，因此测试的满分将是160分。现将每个小问的平均分与分数段统计如下表。

表1 题目平均分与分数段统计表

题目

考点

平均分

分数段

1

已知两角一边的解三角形类型

9.6

10分105人；0分5人

2

已知两边一角的解三角形类型

8.7

10分96人；0分14人

3

三角形面积公式；

已知两边及其夹角的解三角形类型

9.1

10分100人；0分10人

4

解三角形应用举例

7.9

10分87人；0分23人

5

已知两边及其夹角的解三角形类型与解不等式综合

8.4

10分92人；0分18人

6

三角形中的恒等变换中的边角互化；

已知三边的解三角形类型

9.3

10分102人；0分8人

7

异面直线所成的角的求法；

已知三边的解三角形类型

8.5

10分94人；0分16人

8

三角形中的恒等变换中的边角互化；

解三角形与函数中的三角函数

3.2

10分35人；0分75人

9（1）

已知三边的解三角形类型

9.8

10分108人；0-10分2人

9（2）

正弦定理与余弦定理的综合运用

6.7

10分58人；5-10分32人

0-5分20人

10（1）

三角形中的恒等变换

6.9

10分44人；5-10分38人

0-5分28人

10（2）

三角形中的恒等变换

4.8

10分21人；5-10分24人

0-5分65人

11（1）

广义解三角形；

已知三边解三角形

7.5

10分49人；5-10分48人

0-5分13人

11（2）

广义解三角形

4.2

10分13人；5-10分38人

0-5分59人

12（1）

正弦定理与余弦定理的综合应用；

解析几何与解三角形

6.1

10分23人；5-10分44人

0-5分43人

12（2）

解三角形与函数；

解析几何与解三角形

2.6

10分2人；5-10分21人

0-5分87人

我们将上面表格所反映的信息，绘制成了下面两张表，其中包含每道题的平均分统计表，和每道题的分数段百分比堆积表。在分数段百分比堆积表中，由于客观题只有满分与零分两种情形，所以我们就认为介于这两者之间的学生人数为0人。

图表 1测试平均分统计图

图表 2测试得分段百分比堆积图

我们又将测试中的12个题目共16个小问按照论文中的10个考点进行统计，其中得分率＝学生涉及题目平均得分÷所涉及题目的满分，得到如下表格

表2 知识点得分率统计分析表

知识点

涉及题目

得分率

学生表现

1．正弦定理与余弦定理的概念

未涉及

只有个别学生没有记住正弦定理与余弦定理的内容。

2．正弦定理与余弦定理的简单运用

1,2,3,5,6,7,9（1），11（1）

91%

绝大部分同学掌握了正弦定理与余弦定理的简单应用，出错同学中有计算错误而导致丢分。

3．正弦定理与余弦定理的综合应用

9（2），12（1）

73%

大部分同学能够掌握正弦定理与余弦定理的综合应用方法，有部分计算错误而导致丢分

4．解三角形应用举例

4

82%

解三角形应用举例的考题绝大部分同学能够正确解答

5．广义解三角形

11（1），11（2）

56%

学生不能较好地解决除三角形的边角和面积之外的其他几何量，更不能较好的用字母进行表示和推导，运算能力较弱。

6．正弦定理与余弦定理等价性关系探索

未涉及

正弦定理与余弦定理的等价性知识属于探索类课程，没有考点。

7．三角形中的恒等变换与不等变换

6,8,10（1），10（2）

74%

学生掌握了简单的简单的三角形中的三角变换，能够利用正弦定理与余弦定理进行边角互化，能够主动地使用内角和定理，但是当变换过程漫长且复杂时，学生显得能力不足，运算也要出错。

8．立体几何中的解三角形

7

85%

大部分学生能够运用解三角形的知识求解简单的立体几何中的线段和角度问题

9．解析几何中的解三角形

12（1），12（2）

所涉及问题中，没有任何学生利用解析几何的方法解决此解三角形问题。

10．解三角形与函数

8,12（2）

33%

较少部分学生能够在解三角形问题中建立函数模型。

我们将每个知识点对应试题的学生得分率统计得到下面柱状图，将没有涉及到的知识点也记为得分率为0。

图表 3各知识点得分率统计表

由学生测试平均分条形图与得分段百分比堆积图，我们可以归纳得到以下特点：

（1）学生正弦定理与余弦定理的简单运用掌握情况较好，能够熟练运用正弦定理与余弦定理求解三角形中未知的边和角这类简单为题。这一部分的教学难度较小，只需要让学生明确正弦定理与余弦定理的内容，并且运用熟练就可以了。

（2）学生正弦定理与余弦定理综合运用能力不强，说明学生在复杂图形环境中，不能灵活自如的运用正弦定理与余弦定理求解三角形中的边和角的问题。这一部分的教学关键是让学生能够掌握综合运用正弦定理与余弦定理的一般方法，通过练习而加强熟练程度。

（3）对于解三角形的应用举例，学生能够较好地解决这一类问题，主要原因是这类问题的考查实质就是解三角形的简单运用，只是运用了一些测量词汇而已。这一节的教学中，教师们不能仅仅停留在让学生理解测量词汇，能够读懂题意从而解决好这类问题，更要注重学生解三角形的实际运用能力。

（4）学生对于解三角形中的三角变换，能力不强，能够解决简单的和常见的三角形中的三角变换问题，但是在复杂环境中，学生表现为不知如何入手，不能联想到相关的变换公式，忘记或者记错变换公式，不知如何设计变换途径，以及普遍的计算错误。这一部分是解三角形应用的重要内容，是在解决数学问题上的应用，所涉及的知识和方法丰富，对学生数学能力的要求比较高，教学中需要多总结变换方法，多经历变换过程，多提高运算能力。

（5）对于广义解三角形，学生的表现说明对这类问题比较陌生，从而解决经验不足，解决能力较弱。这一内容本质上与正弦定理与余弦定理的综合运用一样，只是所涉及到的线段与角是三角形中的一些特殊的线段与角，但是这类问题的运算量较大。在教学中教师应引导学生探索这类问题，形成问题解决经验，提高数学知识的运用能力，而不是避而远之。

（6）对于解三角形与其他知识点的综合来看，在立体几何中学生们能够自然地运用正弦定理与余弦定理求解空间中的线段与角，但是缺乏通过解三角形的知识构造线段与角进行求解的意识，在解析几何与解三角形中，几乎没有学生能够将这两个部分的知识联系起来，在解三角形中的函数问题中，学生能够体会到函数问题的存在，但是在利用正弦定理与余弦定理建立函数的过程存在困难，另外在函数本身的问题上也能力不强。在这一部分中的教学中，教师应该引导学生积累解三角形与其他章节知识结合的形式，以及这类问题的解决方法，最终达到能够灵活运用解三角形知识解答可能用到的数学问题的目的。

2．2学生访谈纪要

在测试结束之后，我们找了30名有代表性的试卷所对应的学生进行了访谈，访谈中问题如下所示：

（1）解三角形的知识古老实用，历史上为什么会产生解三角形这一学问，你能说出古今中外关于解三角形的著作吗？

（2）你知道正弦定理和余弦定理是怎么推导和证明的吗？

（3）解三角形问题的基本类型有哪些，你能用正余弦定理解决他们吗？

（4）图形复杂时，你求解时的困难在哪里？

（5）解三角形的应用举例问题你能解决好吗？你能根据解三角形的知识设计一个测量方案吗？

（6）正弦定理与余弦定理的是等价的，你知道吗，能证明这一点吗？

（7）除了求解三角形的边、角和面积外，其他几何量如高线长，中线长，角平分线长，外接圆半径，内切圆半径，你能求解吗？

（8）三角形中的恒等变换有哪些方法，遇到这类问题时，你的困哪在哪里？

（9）立体几何中有哪些地方会用到解三角形的知识？

（10）解析几何与解三角形有哪些常见联系？

（11）在解三角形问题中如果图形是变化的，你能用建立函数关系描述变化规律吗？

（12）你认为解三角形一章有哪些学习内容，你的学习效果如何，哪些地方掌握的比较好，哪些地方掌握的不好？

学生样本的回答情况统计如下：

（1）有22个学生能回答出解三角形之所以发展是因为生产生活测量问题的需要，没有人能够说出解三角形的著作。

说明学生对解三角形现实意义是了解的，但是数学阅读量小。

（2）有4个学生回答能够利用直角三角形推导出正弦定理与余弦定理，其他26名学生表示只能记住结论，不知道如何推导和证明正弦定理与余弦定理。

说明学生学习重在结论，轻视探索过程。

（3）在不结合测试题的情况下，有9名学生能够说出解三角形的基本类型，21名学生不知道有哪些基本类型。根据试题中1,2,3,5,6,7,9（1），11（1）的提示，26名学生能够说出解三角形的四种基本类型，4名学生不能说出。这4名学生中有2人认为自己不能运用正弦定理与余弦定理解决这四类基本问题，其他28名学生都认为自己能够掌握正弦定理与余弦定理解决简单的解三角形问题。

说明大部分学生对知识的理解程度仍不够熟练，需要教师的提示才能进行总结，而且本问题中的总结是本章对题型的最重要的归纳总结。

（4）有18名学生认为自己面对复杂图形时，能够厘清各线段和夹角之间的关系，能够顺利的设计出解题过程来，有8名学生认为这一类问题自己需要经过吃力的探索才能解决问题，其余4人认为这类问题太复杂，自己无能为力。

这说明学生对于复杂图形掌握情况还是基本良好，熟练程度还有提升空间。

（5）有25名学生认为自己能够解决好解三角形的应用举例问题，并且明确这一类问题的考法一般是选择题或者填空题，实际上就是解三角形的简单应用，较有难度的是解三角形的综合应用。有5名学生表示这类问题如果有点复杂自己就解决不好了。另外，所有30学生表示自己没有根据解三角形知识设计过测量方案，并且也没有尝试的欲望。

说明学生对于正余弦定理的运用掌握的较好，能够解应用举例的题目，但是没有操作实践的经验，也没有学以致用的兴趣。

（6）有2名学生认为自己知道正弦定理与余弦定理是等价的，来源是教师课堂上的介绍，但是自己不能证明，其余28名学生则从未听说过这样的结论（或者是听教师说过，但是没有记住），表示比较惊奇。

这说明学生对正弦定理与余弦定理等价性关系的认识基本上是空白的，当然这也不是课程标准的要求。

（7）有20名学生表示自己从来没有见过这一类问题，但是像测试题11（1）这类简单的还是能够解决，其余10名同学表示对这一类型问题非常陌生，不知所措。全部30名学生认为自己不能给出高线、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径的推导，也没在课堂上见过推导过程。

这说明对广义解三角形的教学时薄弱的，部分有能力的同学能够根据自己对解三角形已有知识的掌握解决这一类新的具体的问题，但是理论能力上不去。当然这一部分内容也不是课程标准的要求。

（8）所有30名学生不能说出三角形中的恒等变换的类型有哪些。有11名学生表示自己能够解决好这一类问题，其余19名学生认为需要结合具体的题目而言，能够解决好较简单的问题，有难度时不能解决。学生们反映的主要困那点在于，第一，三角形中的恒等变换不知道如何进行变换；第二，在变换过程中与题目的要求往往联系不上，变换时是盲目的，是试探性的；第三，在变换过程中，经常产生运算错误。

这说明大部分学生能够解决利用正余弦定理进行三角形中的恒等变换，但是题型的归纳和概括不足，熟练程度、处理经验和运算能力不足。

（9）有23名学生结合试题认为在求空间角时会用到解三角形的知识，其他7名学生结合试题也没有概括出这一点，没有学生回答利用解三角形的知识求立体图形中的线段长和角度，对解三角形的功能缺乏此方面的认识。

说明绝大部分学生对解三角形在求线段和角度方面的应用理解不够深刻，也没有在将立体几何中线段和角度的求解问题与解三角形联系起来的意识。

（10）同对立体几何与解三角形的关系认识一样，所有30名学生不能举出利用解析几何方法解决解三角形问题的例子，也不能举出利用解三角形知识解决解析几何中的圆锥曲线中的问题。

这说明学生对这一类题型的归纳和积累不足，缺乏这一方面的尝试和练习。思维定势较为严重，擅长专题专法，不能灵活运用。

（11）有17名学生认为不能确定，当函数关系明显且容易建立时就能够解决好，当函数关系不明显，或者是解析式不好建立，或者是建立之后不好处理时，就解决不好，需要根据具体的题目而言，总的来说简单的问题能够解决，但是复杂了就不能解决。其他13名学生则认为不能解决这一类问题，无法发现变量之间的关系。这说明学生在处理解三角形中的函数问题时，能力不强。

（12）有28名学生认为解三角形一章他们学期了正弦定理与余弦定理两个定理，用他们可以求解三角形的边和角，另外两名同学指出他们学会了利用解三角形的知识解决测量问题，学以致用。有21名学生认为学习效果较好，能过解决解三角形一章中的大部分问题，另外9名学生则认为学习效果一般，经常会被解三角形的问题难倒。所有30名学生认为自己对正弦定理和余弦定理的内容掌握的最好，能够解决简单的求边角问题，而对于掌握不好的地方就众说纷纭，有12名学生提到了在复杂图形中自己用不好，有19名学生认为三角形中的恒等变换处理不好，结合测试题中的综合性问题所有同学表示解三角形与其他章节知识的综合很有难度，自己能力不足。这说明学生掌握了解三角形的基础知识，但是综合能力不强。

2．3教师访谈纪要

为了更加准确的掌握解三角形教学现状，明确解三角形教学的重点、难点以及教师对学生学习解三角形学情，教学中的注意事项，我们对教师进行了访谈，并且在教研会上对解三角形一章进行了深入讨论。对教师的访谈内容纪要如下：

（1）解三角形一章的教学重点，难点是什么？

（2）解三角形一章应该划分为多少课时，本章的教学流程该如何设计？

（3）解三角形一章，每节的教学重点、难点是什么？该如何设计教学流程？

（4）近年来解三角形一章在高考中是如何体现的？

（5）解三角形一章在高中数学中的地位是怎样的，如何与其他章节联系？

（6）学生学习解三角形的困难在哪里？如何涉及对策？

（7）解三角形一章有哪些值得探究和拓展的内容，以丰富学生的学习生活？

（8）解三角形在实际生活中的应用是否值得操作，以及如何操作？

面对这八个问题，教师们各抒己见，给出了大量值得借鉴的教学经验与教学建议。这些宝贵意见对我们论文的构建起到了重要指导作用。教师们的意见大致如下：

（1）解三角形一章的重要教学内容就是掌握正弦定理与余弦定理，能够根据他们构建三角形，并求出其中的边和角，能够理解正弦定理与余弦定理所揭示的三角形中的边角关系，进而实践三角形中的边角互化。本章的难点，就在于正弦定理与余弦定理实现三角形中的恒等变换。

（2）正弦定理概念与应用一节课，余弦定理概念与应用一节课，正弦定理与余弦定理的简单运用习题课一节课，三角形中的恒等变换两节习题课，一节作业评析课，解三角形应用举例一节课，共7课时完成本章的教学内容。这与教师用书中的安排有很大出入，教师用书中对解三角形应用举例安排了4个课时，但是应用正弦定理与余弦定理实现三角形中的恒等变换在教材和教师用书中被安排在解三角形应用举例一节，按照这一理解，教师们的安排与教师用书的建议又有相类似的地方，都在应用。但是教师们认为应用的重点在与恒等变换，而教参认为重点应该在实际应用，并且教参还明确指出淡化恒等变换。

（3）正弦定理的概念课重点是弄清正弦定理的推导过程，会用正弦定理解决已知两角与一边的解三角形类型，已知两边及其对角的解三角形类型；难点是正弦定理中任一边与对角正弦比值是 这一事实的推导。

余弦定理的概念课重点是经历用向量法证明余弦定理的过程，体会向量的工具性，能用余弦定理解决已知两边及其夹角的解三角形类型，已知三边的解三角形类型，已知两边及其对角的解三角形类型。

正弦定理与余弦定理的简单应用课，重点是归纳出解三角形问题的四种类型，总结出每类问题的解决办法，并且简单的涉及正弦定理与余弦定理的综合运用的问题。

三角形中的恒等变换，用两个课时给出常见的三角形中的恒等变换的结构特点，总结变换方法，练习变换能力，多练习，最终达到能够根据正弦定理与余弦定理所反映的边角关系，其他变换方法在三角形中实现恒等变换。

（4）近年来解三角形在高考中的表现形式可以是选择题、填空题、解答题，没有固定的形式，与难度与三角函数的与性质以及数列考题的难度有关系，这几个考点中某个难度大则其他的难度就不大或者较低，解三角形以中等难度甚至以上的形式出现的次数较多，常有比三角形复杂的图象出现，有动态过程，有除边角面积外的其他几何量出现，有应用举例的问题，需要引起重视。

（5）解三角形一章是整个三角学板块的一个总结性章节，将三角函数的概念，图像与性质，三角恒等变换甚至是平面向量都糅合到这一章来，运用它们推导出正弦定理与余弦定理，综合运用之前这些知识与新学的解三角形的知识解决解三角形的问题，解三角形一章是初高中衔接点，是处理平面几何问题的重要手法，与高中其他几何问题形成了对比和联系，比如立体几何中的线段和角度可以根据解三角形的方法求解，解析几何和解三角形也有相互沟通的部分，解三角形问题中涉及到的量非常多，因此当某个或者某些量是变量时，可以与函数产生联系。

（6）解三角形一章学生的学习难点在于运用正弦定理与余弦定理实现三角形中的边角互化方面的恒等变换，以及解三角形与其他章节的联系，尤其与三角恒等变换的综合表现的比较突出，其原因是这种考法很常见，而三角恒等变换的公式非常多，学生运用起来比较盲目。对于这一难点，需要通过多总结多练习的教学方法予以突破。

（7）解三角形这一章值得拓展的地方有解三角形的实际应用，可以让学生真正实践和操作起来，改变以往纸上谈兵的现状，加强学以致用；正弦定理与余弦定理的等价性值得探究，以及解三角形中的其他定理；广义解三角形问题，也就是除三角形的边角和面积之外的其他问题；三角形中的恒等式与不等式也是一个拓展的方向。

（8）解三角形实际应用虽然教材和教师用书中给予了高度重视，但是以往的教学中都没有充分的课时安排，没有作为教学重点，仅停留在能够算题应付考点的层面上，可以根据教学时间的安排，在教学时间充沛的情况下以及有测量工具的情况下，让学生去想一想，做一做也是很好的。

3．调查成果

根据高中数学解三角形教学现状调查报告所呈现的结果，我们认为解三角形一章的教学应该分以下10个部分进行实施。

（1）正弦定理与余弦定理概念课

这一部分主要研究如何如何引入正弦定理和余弦定理，并且要给出建立在学生认知基础上的证明方法，目的是让学生更深刻的认识到正弦定理与余弦定理知识的形成过程。

（2）正弦定理与余弦定理的简单运用课

这一部分主要研究如何将正弦定理与余弦定理的简单运用有条理的呈献给学生们，如何让学生正确和规范的使用正弦定理与余弦定理。

（3）正弦定理与余弦定理的综合运用课

这一部分将引进正弦定理余弦定理的综合运用，研究如何引导学生利用正弦定理和余弦定理解决复杂的平面多边形中的问题，研究如何建立学生构建解决问题的流程。

（4）解三角形的实践操作课

这一部分将研究如何引导学生学以致用，利用正弦定理与余弦定理解决生活中的一些测量问题，将重点研究如何让学生设计测量方法。

（5）广义的解三角形

这一部分将研究如何引导学生利用解三角形的知识解决三角形中的除了边和角之外的其他几何量，得到有关面积、中线、高线、角平分线，以及四心等其他几何量的结论，可以看作是正余弦定理的再次综合运用。

（6）正弦定理与余弦定理的等价性关系探究课

这一部分将研究正弦定理与余弦定理之间关系的教学，力图引导学生更为深入的理解正弦定理和余弦定理的发生发展过程，引入如何让学生从几何命题的体系上理解正弦定理与余弦定理。

（7）三角形中的恒等变换与不等关系

这一部分将研究如何引导学生在三角形中进行有效的三角恒等变换，研究如何让学生构建三角形中的三角恒等变换的过程和方法。而三角形中的不等式这一部分将研究如何丰富学生对三角形中的不等关系的了解，研究如何让学生建立对三角形中的不等关系的探究能力。

（8）立体几何中的解三角形

这一部分将研究如何引导学生自觉地在立体几何中自如的使用平面多边形下的解三角形知识。研究如何让学生更为深刻的体会正弦定理与余弦定理的应用性。

（9）解析几何中的解三角形

这一部分将研究如何让学生在解析几何的背景下使用自觉的使用解三角形的知识，研究如何进一步实现学生对几何知识灵活运用的能力。

（10）解三角形与函数

这一部分将研究如何让学生体会正弦定理和余弦定理中所蕴含的函数关系，以及如何用正弦定理和余弦定理恰当的建立函数关系，解决动态问题。

附录1 解三角形学习效果测试题

1．在 中， ， ， ，则最短边的边长等于（    ）

（A）     （B）     （C）     （D）

2．在 中， ， ， ，则 的解得个数是（    ）

（A）0个    （B）1个    （C）2个    （D）不确定的

3．在 中，已知 ， ，其面积为 ，则 的值为（   ）

（A）           （B）           （C）          （D）

4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ）

（A）10 海里  （B）10 海里  （C）20 海里  （D）20 海里

5．在钝角 中， ， ，则最大边 的取值范围是________。

6．在 中，若 ＝ ，则该三角形的最大内角等于________。

7．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧棱 的中点，则异面直线 所成的角的大小是          。

8．在 中， ， ，则 的最大值为________。

9．如图，在平面四边形 中， ， ， 。

（1）求 的值；（2）若 ， ，求 的长。

10．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 。已知 ， 。

（1）求证： ；（2）若 ，求 的面积。

11．在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边。

（1）若 ， ， ，试求 外接圆半径；

（2）设 为 周长的一半，试用 ， ， 以及 表示 的外接圆半径。

12．在 中， 为 边上一点， ， ， 。

（1）若 ， ，求 的长；（2）求 的取值范围。

附录2 解三角形测试题参考答案

1．解析：选（A）。 最小，由正弦定理，得 。

本题考查三角形大边对大角、小边对小角应用正弦定理解决问题的能力。

2．解析：选（C）。本题考查已知三角形的两边和一对角时解三角形的能力。利用正弦定理 ，由 ，知 可能是锐角也可能是钝角，因此 的解的个数是2个。

也根据余弦定理 ，得 ，整理得 ，此方程有2个正根，从而满足题意的三角形有2个，因此 的解得个数是2个。

3．解析：选（B）。 ，解得 。

又由余弦定理，得 ，所以 ，所以 。

本题考查三角形的面积公式，也涉及到已知两边及其夹角解三角形的基本类型。

4．解析：

选（A）。如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10（海里）。

5．解析： 。本题考查已知三角形的两边及其夹角时解三角形的能力，利用余弦定理 及钝角 ，可得 。

6．解析：由题意知 ，故设 ， ， ，因为 是最长边，所以 是最大角，由余弦定理，得，

，故 。

本题首先要根据正弦定理，将题设中的三个内角的正弦值比转化为三条对边之比，将问题转化为已知三角形的三条边解三角形问题，根据余弦定理的推论解答。

7．解析：

本题解法多样，可以根据空间向量中的基底法，可以建立空间直角坐标系，这里我们只给出传统几何法中的一种做法。取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，则 ， ，所以 是异面直线 与 所成的角或其补角，设正三棱柱 的棱长为2，则 ， ， 。

在 中，由余弦定理，

得 ，所以 ，所以异面直线 与 所成的角为 。

本题考查异面直线所成的角的求法，是典型的立体几何问题，解三角形在其中只是一个重要步骤而已，但是这正是立体几何中的解三角形的最常见的呈现方式。

8．解析：令 ， ，则由正弦定理，得 ，所以 ， ，且 。故

其中 ，故当 时， 取得最大值 。

本题考查解三角形中的函数问题，以 与 中的某一个角为自变量，建立常见的三角函数模型进而求出最值或者范围。

9．解析：（1）在 中，由余弦定理，得

。

（2）设 ，则 ，

因为 ， ，所以，

，

，于是，

在 中，由正弦定理得， 。故 。

本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，第（1）问只要看到 是一个已知三个条件的三角形就可以入手解决问题，第（2）问中需要注意到图形中各个边角之间的联系，再综合应用正弦定理、余弦定理与内角和定理就可以解决问题，是典型的正弦定理与余弦定理的综合应用问题。

10．解析：（1）由 ，应用正弦定理，

得， ，

即， ，

整理，得 ，即 ，

由于 ， ，从而 。

（2） ，又因为 ，因此 ， ，由 ， ，得 ， ，

所以 的面积 。

本题两个小问都考查了三角形中的恒等变换，涉及大量三角形中的恒等变换的方法，有一定的难度。

11．解析：（1） 。所以 ，所以 的外接圆半径 。

（2）首先：

从而 外接圆半径：

。

本题考查广义解三角形，以第（1）题为铺垫，给第（2）题打下基础，在第（2）题中的代数恒等变换有一定的运算量。

12．解析：（1）由题意知， ， ，从而在 中，由余弦定理，得

，整理，得 ，

而在 中， ，整理，得 ，从而有 ，解得 。

（2）

，

记 ， ， ， ， ，则 ，且

，其中 ，且 。从而 ，又当 时，有 ，因此 ，从而 的取值范围是 ，即 。

另解：

（1）以 为坐标原点， 为 轴建立平面直角坐标系，设 ， 。

因为 ，所以射线 的方程为 ， ，

因为 ，所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上，其方程为 。

联立 ，解得 。

因为 ，所以 ，

整理，得 ，解得 。

（2）设 ， 。

因为 ，所以 ，整理，得：

，与 ， 联立，

整理，得， ，

变形，得 ， ， ，令 ，则 ，且 。下同法一。

本题第一种方法利用解三角形的知识解决问题，第（1）问考查正弦定理与余弦定理的综合应用，在图形中要注意到各个线段与角度之间的关系，使用正弦定理或者余弦定理建立等量关系。第（2）问考查解三角形中的函数问题，最终建立以线段 为自变量的简单分式函数解决问题，函数解析式的变形与分析较复杂。本题第二种方法，利用解析几何的方法解决问题，在第（1）问中注意到点 满足的几何条件，使得点 即在一个定圆上，又在一条定射线上，进而可得点 的坐标，解决问题。第（2）问中，点 在一阿婆罗尼奥斯圆上，又在射线上，从而点 是此两圆的交点，得到关键方程之后，用到了已知方程有解，求参数取值范围的问题，有一定的技巧，尤其是问题中有两个独立自变量，需要用主次元法个个击破。因此，本题设计时，还可以将 的长度给定，那么题目的难度将大大减小。