论文——浅谈高三习题课中典型例题的评析策略——赵一凡

人教A版数学4第三章复习参考题B组中的第4题，是一个综合考察三角恒等变换的练习题，也被众多高三复习资料所青睐，为数学教师们所熟知。既然它具有良好的代表性，不如我们就以这道题目为例，谈一谈高三习题课中典型例题的评析策略。

原题呈现：已知 ， ，求 的值．

这是一个利用三角恒等变换，解决已知一个三角函数式的值，求另一个三角函数式的值的问题。由于三角函数一章中有众多变换公式，学生们在解决问题时，解法上显得尤其多样和丰富，因此这一章中会频频出现一题多解的现象；当然，既然频频出现一题多解的现象，那么多题一解也就不足为怪，这正是老师提炼主干知识，核心方法，主要技巧的时机，不容错失．

一、课前准备

（一）我们这一堂习题评讲课的教学目标是：

通过经历运用三角恒等变换公式解决化简、求值问题的过程，进一步掌握三角恒等变换公式及其用法；

通过公式的运用培养学生思维的有序性表述的条理性；

通过本章节中易错易混点的剖析，培养学生思维的严谨性；

通过一题多解和多题一解的，培养学生思维的发散性与收敛性；

（二）我们这堂课的教学环节是：

第一步，将典型例题作为前一天的作业留给学生做；

第二步，让学生展示典型例题的解答过程；

第三步，让学生讨论和分析解答过程中所涉及的知识、方法、技巧、思想；

第四步，提出修改意见和其他解法；

第五步，循环操作第二步到第四步，直到学生已经无计可施，教师给出补充；

第六步，总结分析各种方法的优越性与局限性，所涉及的知识、方法、技能、思想；

第七步，对原题进行变式，探究其考查的核心知识，探究其的外延知识，得出学习启示．

二、课堂呈现

（一）学生甲：

1．展示环节

（1）解答路径介绍

首先，要解决这一求值问题，关键在于求出基本量 与 ，求出这两个量之后，待求表达式最终可以划归为 与 的表达式．

其次，要求出 与 ，注意到已知角 与 与特殊角 有关系，通过角之间的关系可以将 表示成 ，用两角差的正弦、余弦公式求解

最后，要利用两角差的正弦、余弦公式，就必须先求出这两角的正弦、余弦共4个值，就本题而言，要通过同角关系求出

（2）解答过程展示

∵ ，∴ ，∴ ．

∴ ， ，

∴原式

2．讨论环节

（1）得到 后，求 可以根据同角关系，可以不重复使用两角差的正弦、预先公式；

（2）在解决过程中，应该先用两角差余弦公式求出 ，再用同角关系求 ，因为，在 的范围内， 一定为负数．

（二）学生乙

1．展示环节

（1）解答路径介绍

首先，既然是求 与 这两个基本量，那么可以不利用 与 之间的关系，而直接将条件 看成是 与 的关系即可，由 ，解得

然后，带入到待求三角式就可以求出其值．

2．讨论环节

（1）此解法基于方程思想，直接利用了同角关系，求出这两个基本量，计算量和思维含量都要小一些，需要注意的是在求解方程组时，需要先解出 ．

（三）学生丙

1．展示环节

（1）解答路径展示

首先，虽然这个问题较容易求出 与 ，但是在不易于求出 与 的问题中，整体代入显得尤其重要，本题也可以用整体带入的方法解答

其次，要整体带入，就要将待求三角式变形成与已知条件有关的几个部分，求出这几个部分的值之后，再带入

（2）解答过程展示

原式

∵ ，∴ ，∴ ．

∵ ，∴

∴

2．讨论环节

（1）求 除了利用 这一结论外，还可以使二倍角公式，∵ ， ，∴ ．两种方法计算量相当；

（2）虽然 与 可以利用辅助角公式变形成其他形式，但是为了和已知条件中的角 产生联系，这里的变形结果是最好的．

（四）学生丁

1．展示环节

（1）解答路径展示

首先，注意到待求式分子可看做二次齐次式，因此可以齐次式化切，用 表示待求式；

其次，要根据已知条件求出 ，可以采用同学甲、乙的方法求出 与 之后求出 ，也可以使用齐次式化切求 ；

再次，我们将得到 的二次方程，两个解中存在取舍问题，需要根据辅助角公式判断 更加精确地范围．

最后，将求出的 代入待求式计算即可

（2）解答过程展示

∵ ，∴ ，又∵ ， ，∴ ，∴ ．

∵ ，∴ ，∴ ，解得 或 （舍去）．

原式 ．

2．讨论环节

（1）此法注意到了齐次式化切，但是由于角 初始范围过于宽泛，需要根据已知条件得到更加精确地范围才能确定 的取舍，比较麻烦，并且有一定的难度，思维含量较大．

（五）对比分析，归纳总结

这一部分由师生共同完成，学生先谈感想，教师做简单补充和评价．

上述的几种解决问题的方法，都是很好的，用到了三角函数一章的众多需掌握的公式，比如说同角关系、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式、二倍角公式、辅助角公式；用到了常见的解答方法，比如解方程法，角的配凑，名的转换，形的变换；用到了常用解答技能，比如整体代入，齐次式化切，体现了众多数学思想，比如方程思想，转化思想，整体思想。

（六）变式引申

1．变的更简要，看清本质

此题的本质就是在已知同角正弦、预先之间的关系下，求三角函数式的值的问题。只是方法多样而已。我们可以针对不同的解法变出相对应的问题，这样的问题比比皆是；

2．变得更复杂，看清知识外延

对于这样的变式，教师需要引导学生掌握变式方法。一般来说，变式的形式包含三个层面：条件不变问题变，条件变问题不变，条件变问题也变。变式的方向包括：添加条件、删减条件、引入变量等，这样能够帮助学生更加清晰地看到问题中的各个数量之间的关系。

三、评析策略

（一）例题选取

1．例题选取要符合学情

例题选择的符合学情才能发挥出学生的潜能来，才能反映出学生的学习情况来。学情体现在长期以来的师生交流中，教师在教学过程中所强调的学习重点，所发现的学生学习的薄弱点，都是选取例题的维度，这也就要求教师的教学要系统化，要将主干知识贯穿到每一堂课中，让学生在每一堂课中都能感受到知识脉络。这堂课是通过习题对同角关系、诱导公式、三角恒等变换的进一步复习，学生已经掌握了以上公式，并能用以解决简单化简、求值问题。而所选例题给学生留出了很大的发挥空间，综合运用了所学知识，是紧扣学情，并且能充分体现学情。

2．例题的选取要服务于教学目标，凸显教学重点

教学目标是一堂课的指明灯，无论选取什么样的例题，都要服从于教学目标。例题的选取尽量不含有教学目标之外的成分，以免让学生目标混乱，要呈现主干知识，即使例题的剖析过程中，涉及到一堂课教学之外的部分内容，为了凸显教学重点，应该对其一带而过，而把剖析重点放在紧扣教学目标的内容上。就本例而言，本题综合运用了三角函数一章节的众多公式、方法、思想，紧扣教学目标，突出了教学重点，在利用各种方法剖析本例的同时，学生思维的发散性，收敛性，严谨性，表述的条理性都得到了培养。

（二）例题评析

1．同上面所说的一样，例题评析也需要若绕这教学目标和重点展开。

在本例的剖析中，虽然用到了多种解法，但是每种解法都是常规的，都是同学们熟悉的，都是主干知识和常用方法。因此，运用这些解法是为了服务教学目标，是为了更牢固地让学生掌握本章的知识、技能、思想，运用这些解法也凸显了节课的重点。

2．学生主体

课堂教学的最终目标在于帮助学生学习。在课堂教学中要充分发挥学生，让学生展示交流他们解答习题的过程与心得，让学生暴露自己的问题，这样不仅仅能够让教师充分把握学情，更重要的是能够培养学生的表达能力，包括口头表达和书面表达；还能够培养学生的抽象概括能力，让学生能够高瞻远瞩的看明白自己需要学的是什么知识，以及怎样学的问题，并且能够培养学生的鉴赏能力，让学生从不仅仅享受多样、丰富、灵活的数学知识，体会数学的和谐美、灵动美，而且能够让学生从中鉴别出方法的优劣，培养自己的审美情趣。

3．教师主导

学生作为学习者，可能会走向误区，或者徘徊不前。当学生遇到上述情况后，教师主导的地位就要发挥出来。对于高三习题课当然也是如此，在典型例题剖析的过程中，若是学生的剖析始终没有将教学目标充分的体现出来，没有将教学重点充分的凸显出来，那么教师可以进行引导或者是讲解，让学生明确典型例题中所考查的知识、方法、思想究竟是什么，以及遇到这样的情况该怎样处理。这样学生通过逐步积累，伴随着学生不断地尝试和练习，在潜移默化中，学生就会渐渐深入理解其中的原理，甚至灵活运用这些指导思想和方法。当然，在没有必要的情况下，教师最好不去要全盘讲解，采取灌输式教学方式，若能循循善诱的有针对性的发问，引导学生领会习题所蕴含的知识、方法、思想是最好的。

4．及时总结

一方面，习题课的意义在于让学生通过习题进一步掌握某一章节的知识、方法、技能、思想等等，因此教师需要在剖析典型例题是及时总结，强调主干知识，凸显重点，强化常用方法，渗透重要思想和启示。这样做学生才更清楚这一章节的考点、考法以及答法，才能将课堂上所学运用到课后练习中，进一步提高自己的知识掌握水平，才是一堂合格的习题课。

另一方面，通过习题课和典型例题剖析，教师更加清楚地掌握了学生的学情。因此，不仅仅需要及时总结所学内容的要点，同时应该总结学生们的学习状况，对学生们进行学情分析和学法指导，帮助学生们建立学习目标，规划实施方案，帮助学生们进一步提高自己的能力，这也是重要的方面。只有持续的这样做，学生才能养成良好的复习习惯，提高复习效率，提升复习效果。

（三）变式与练习策略

1．对于典型例题，一般可以看做是母题，能够引申出大量子题来，可以通过变式训练的手段，让学生巩固所学知识和方法，进一步内化数学思想。对于变式训练要注意双向性，这一点我们前面已经提到，通过这样的手段能够让学生更加清晰地看到试题构造过程中各个数量之间的关系，能够帮助学生融合多方面的知识和方法，培养学生思维的发散性与收敛性。

2．变式和练习的针对性和传承性

例题的剖析是针对课标和考纲的，是为了更好地让学生完成高中数学学习，为了让学生更好的表现出自己的学习效果。因此变式和练习一方面要针对例题的巩固，它们可以是例题的延伸和完善，可以是例题概括和精炼，与例题形异而神似，用到与例题中相似的知识、方法、思想；另一方面，要针对课标和考纲，由此帮助学生进一步了解考情和考纲以及自己的现状。

参考文献

[1]卢志华．优化例题教学 提高数学教学的有效性[J] ．西藏大学学报（自然科学版），2008(10):15

[2] 高东光新课标下挖掘例题教学功能的思考[J] ．福建教育学院学报， 2014(06):25-26

[3]范瑞红如何提高高三数学复习中例题教学的有效性[J]．亚太教育，2016(03):25-27

[4]蔺启鹏．如何在例题教学中实现三维目标[J]．新课程研究（基础教育），2010(01):01-03

[5]毛伟松．高中数学例题教学模式的探析[J]．中国校外教育，2014(12):10-11