论文——导数应用教学应注重以数形结合为方向的代数变换——赵一凡

第2篇：导数应用教学应注重以数形结合为方向的代数变换

摘要：本文通过学情分析、案例分析，说明以数形结合为方向的代数变换的方法，对于学生学习导数知识，利用导数工具解决函数综合问题的帮助，并得到了关于导数应用教学的启示。

关键词：函数  导数  图象  代数变换  数形结合

1．论点背景分析

1．1导数在高中课程中的地位

导数在研究函数性质中的应用，是高中数学的重要内容，对学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、想象能力、应用意识、创新意识都有较高的要求。这一知识的学习，使得学生能够深入研究的函数丰富起来。不再停留在仅仅凭借记忆基本初等函数的图象和性质，去研究简单的初等函数，而能够对基本初等函数经过充分整合之后的较复杂的函数进行探索。

1．2导数应用学情分析

导数的学习虽然能够拓宽学生研究函数的范围，但是要用好导数这一工具对学生们来说并不容易。学生们能够利用导数工具探索一些简单函数的性质已经很好了。学生们更为熟悉的，仍然是曾积累下来的基本初等函数的图象和性质。面对整合后的较复杂的函数，若能够将其重新整合，回归到熟悉亲切的基本初等函数，或者容易作出图象的函数中去，更有利于学生清晰和深入的认识问题，发挥导数的工具。

1．3代数变换要以数形结合为方向

代数变换的方法多种多样，研究函数的性质要与描绘函数的图象同行。我们这里所说的代数变换是要以数形结合为指导方向，通过代数变换，将复杂的函数整合成基本初等函数的运算结果，而这里的函数正是易于描绘图象的，学生们可以更轻松的画出新构造的函数的图像，从而采取数形结合的方法继续研究和探索。因此，导数应用时需注重以数形结合为方向的代数变换。

2．案例分析

2．1真题再现

以四川省2015年高考理科数学第21题为例，文科题同理可解。

已知 ．其中 ．

求证：存在 ，使得 在区间 上恒成立，且 在 内有唯一解．

证明：在区间 上，不等式 恒成立，等价于不等式 恒成立．

令 ，

，（ ）．

则 ， ．

令 ，整理得 ，

解得 （舍），或 （舍），或 ．

记 ．

由 在 上单调递增， 在 上单调递减：

， ．

令 ，则 在 上单调递减．且 ， ， ．

故存在唯一 ，使得 在 上恒成立，且 有唯一解，即 ．

从而存在唯一 ，使得 在区间 上恒成立，且 在 内有唯一解．

2．2解法对比

上述解法与当时的标准答案有很大区别。上述解法的关键是将原不等式恒成立整合为一个双钩函数与一个对数函数之间的不等关系恒成立，而双钩函数与对数函数的图像学生们是熟悉的。由两者的图像可知，当双钩函数的图像随着 的变化而变化时，只需证明存在情形如下：双钩函数与对数函数有一条共切点的公切线。这情形的想象来源于证明的目标。由于是公切线，因而两切线有相同的斜率，从而建立了关于 的方程，找到了使得两函数图像切线斜率相同的自变量 的取值，再由证明的目标，只需证明存在 使得切点重合即可。

这种研究手段主要见于证明不等式恒成立，探究函数零点个数等导数综合应用问题。这样通过将经过基本初等函数整合之后的较复杂的函数，重新整合为熟悉的基本初等函数的运算结果，通过整合出的基本初等函数之间的关系，而得到原复杂函数有关性质的案例不胜枚举。这样的思路学生易于理解，也便于掌握，在探索过程中又有熟悉的函数图象作为图形载体，不至于太抽象。

2．3变式练习

已知函数 在 上为增函数， ， ．若 上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围．

解析：由题意得 有解，即 在 上有解．

令 ，则 ，当 时， ， 单调递减， ．

令 ．

当 时，对 有 ，故 恒成立， 无解；

当 时， 在 上增， ，令 ，得 ．综上所述， ．

此变式问题是在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题。原不等式经过代数变换之后，得到两个函数 ， ，其中 的图象利用导数很容易得到， 正是学生们熟悉的函数模型，对其图象也很熟悉。面对这两个函数之间的问题，学生们当然游刃有余了。

3．教学启示

上述的分析和案例启示在导数应用教学中，我们教师可以在以下几点引导学生：

3．1强化数形结合的意识和习惯

高中阶段学生的抽象思维能力在逐渐的成长，正在经历从依赖图形，到数形并举，再到由数构图的过程。高中阶段大部分的函数的图象，经过探索，都可以描绘其草图。引导学生遇到函数就作其图象，在作图的过程中，有的图象是以往记忆的基础知识，有的图象是通过研究函数的性质而得到的，但无论如何，最终得到了一个函数的解析式和它的图象，在进一步的探索中，能够数形并举，更加形象和准确地进行下去。

3．2强化代数变换意识和习惯

倘若在探索过程中，遇到了难以绘制图象的函数，或者是能够绘制出，但要得到图象中的关键信息，需要经过大量复杂的运算，甚至无法算出结果的时候，探索过程就遇到了瓶颈。那么就可以对函数的解析式进行分析、变形，使得解析式成为更熟悉的函数的整合。而代数变换往往能够产生令人耳目一新的结果，不同的代数变换将把学生引向不同的探索方向，从而拓展学生的思路。

3．3培养应用意识和创新意识

导数在研究函数性质中的应用，归根结底是知识的应用。在教学中强调的导数工具性，培养学生学以致用的意识，让学生把有关函数的其他知识也应用起来，才能够开阔学生的眼界，拓展学生的思路，再次深化对所学知识的理解程度。在尝试应用过程中，学生必然会产生一些新奇的想法，而这新奇的想法也许将是前无古人的，而科学发展的动力正是这些新奇的想法，因此培养学生的创新意识，能够使得班级的学习氛围，甚至是属于他们的时代的学术氛围活跃起来。

3．4培养坚持不懈的探索精神

以数形结合为方向的代数变换太宽泛了，也无法指出更加具体的方向了。在这样的方向下，变换的途径多种多样，变得的结果五花八门，然而可能绝大部分都会遇到瓶颈，能够解决问题的变换方法，可能历经尝试才会被发现；也可能发现之后解决起来也不那么顺利而是坎坷起伏的。但是不言弃的顽强品格的磨练正需要这样饱经困境而积极克服的历程。

参考文献

[1]陈兆华．不同的代数变换导致不同的数形结合[J]．中学数学月刊：2000（6）：41-43．

[2]李波、易存新等．高三冲刺专辑[J]．天府数学：2016（2）：53-54．