研究课——《函数的表示法（说课）》——赵一凡

一、教材分析：

1、教材的地位与作用

    本节课的教学内容“函数的表示法”在初中教材中已经有所涉及。在高中教材中，“函数的表示法”是函数概念的外延和深化，是函数这一抽象概念的具体表现形式，体现了文字语言、符号语言、图形语言的相互关系。通过这节内容的学习，一方面能强化学生对函数概念的本质的认识，丰富函数类型（“离散型函数”和“分段函数”），另一方面也为进一步研究函数性质，学习几类典型函数的打下重要基础。在这节教材中渗透了数形结合、函数建模等重要数学思想，体现了对立统一辨证唯物主义观。

2、教材内容的选择与处理

本节教材主要讲解函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，比较三者的优点，根据实际问题，灵活选用函数表示方法，以及在具体问题中解析法与图象法的互化。

    我们在处理教材时，不拘泥于教材，作了一些调整。主要体现在从典型函数的对比中，挖掘各种表示方法的内涵，认识各种方法的内在联系；我们认为例1、例2的主要目的在于在具体问题中会恰当的选择表示函数的方法。因此在对例1、例2的问法略作变动，使它们变成开放型的问题，以供学生讨论、完善，实现三种表示方法的内化。同时建构对离散型函数、分段函数的初步理解。例3是一道综合型的应用问题，体现了函数建模、数形结合等思想方法，通过多媒体课件演示、师生的合作交流的方式让学生逐步建构认识，提升能力；另外作为一节重要概念的延伸课，我们注重易错题辨析，将课后练习穿插其中，真正做到让学生过手、掌握。

3、教学目标

根据上述教学内容的地位和作用，结合新课程标准的要求，并依据高一学生的认知能力与数学思维特征，本节课的教学目标如下：

（1）知识目标：

①掌握函数的三种表示法，尤其是解析法和图象法；

②完善对函数概念的理解，丰富函数类型。

（2）能力目标：

①在具体问题中，恰当的选用函数表示方法，并能合理的进行转化；

②渗透数形结合思想，培养学生运用数学概念及思想方法分析、解决实际问题的能力。

（3）情感目标：

①激发学生积极主动地参与数学学习活动，树立学好数学的自信心，养成良好的学习习惯；

②培养学生勇于探索、乐于探索、善于探索的的精神和团队合作精神。领悟对立统一的辨证观。

4、重难点分析：

（1）教学重点：对函数概念的理解，合理选用函数的表示方法以及在一些具体问题中解析法、图象法的互化；

【解决方法】为了突出重点，在相关例题、练习中，让学生自主学习、交流讨论、质疑完善、步步深入，逐步掌握。

（2）教学难点：

①对分段函数的理解；

【解决方法】为了突破难点，需要在讲解时，强调函数概念，处处不忘函数概念的核心作用；

②在综合性问题（如例3）中的函数建模；

【解决方法】为了突破难点，结合多媒体课件，师生合作，逐步转化；

（3）教学关键点：对函数概念的正确理解。

二、学情分析、学法指导：

1、学情分析：

学生刚刚学习了“函数的概念”，对函数的近代定义有了初步的理解，明确了“定义域优先”的原则，对后续知识的学习有较强的欲望；与此同时，由于刚进入高中，学生的学习习惯还有待进一步规范，特别是“问题意识”以及学习的主动性、探索性、合作意识、课后巩固方面还比较薄弱。

2、学法指导：

针对这种情况，在教学中，我注重发挥学生的主体地位，激发学生的求知欲望和学习的积极性，通过各种问题情境，引发学生思考、讨论、完善、整合，最终建构自己的知识体系。这样不仅让学生学到了知识，同时让学生逐步体会研究问题的方法。结合这节课的特点，要求学生善于结合函数概念帮助理解，注重对比归纳、数形结合，重视在例题、练习中内化知识，提升能力。

三、教学方法：

本节课实际上是函数概念的延伸和深入，学生已经有了一定的知识储备。接下来的三种方法的系统化、三种方法的灵活运用，以及由此衍生出的离散型函数和分段函数都可以师生共同探究完成。所以：

1、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取“以学生为主体，教师为主导”的启发式、探究式的教学方式；

2、根据“教师应尊重学生主体和主动的精神，开发学生的智能，形成其健全个性”的原则，力求营造民主的教学氛围，使学生全面参与教学过程，积极思考、动手演练、自主学习、合作交流、质疑完善、步步深入，完成知识体系的建构和能力的发展；

3、采用多媒体教学，加强教学的直观性，有效提高教学效率和教学质量；

4、教师参与讨论，以反馈为调控手段，力求反馈的时效性（及时、中肯）与全面性（优、中、差）。

四、教学理念：

用建构注意的观点来看，因为知识是不能传递的，教师传递的只是信息。知识必须通过学生的主动建构才能获得，从而学生学习的有效性首先体现在学生是否积极主动地参与学习，以保证对知识的主动建构；教师教学的有效性体现在能否调动学生的学习积极性，促进学生对知识的主动建构。

五、教学过程分析：

（一）、知识回顾、课题引入

问题1、函数的概念，解决函数问题应当遵循的原则；

（学生回答后）教师强调解决函数问题应当遵循“定义域优先”的原则；然后与学生一起回顾：解析法、列表法、图象法，说明今天对此作出深化，并板书课题。

设计意图：复习引入，温故知新。特别是函数的概念和定义域优先原则是后续研究的基础。

问题2、列出下列函数关系：

①已知圆的半径R，写出圆的面积公式：

②说明韩国队在德国世界杯小组赛上第1、2、3场比赛的得分情况：

③一天中气温随时间的变化情况。

  学生回答后，教师指出①很方便有“数学式子”刻画，②没有特别的规律，用表格刻画来得直接，③也没有规律可循，用图象来得直观。然后从函数概念的角度阐述每种关系都是函数关系，都体现了从一个数集到另一个数集的映射，这就构成了表示函数的三种方法——解析法、列表法、图象法。通过分析以上三个函数，比较得出三种方式的各自的优点，师生共同建构一个知识框架（以课件的形式给出来）

设计意图：美国数学家乔治•波利亚指出“学习任何东西，最好的途径是自己发现”。基于此，在这里让学生从具体实例中归纳三种表示方法的含义，对比得出三者的各自优点。然后，通过适当的形式化实现（列表的方式），形成一定的系统。

（二）、归纳对比、体验内涵

问题3、请举出几个生活中的函数实例，并用合适的方式表示它们

将学生所举实例有选择的列于多媒体课件中

（在此，教师有意识的引导学生找一些可以用不同的方法来表达的函数，如二次函数等，并且指出有时一个问题需要用不同的方法才便于研究其性质，因此需要实现这某些表示方法的互化）

设计意图：根据认识发展理论，学生认识结构的过程中，伴随同化和顺应的认知结构，不断再建构的过程，达到以旧悟新的目的。通过学生的举例，加深对三种表示方式的理解，“以旧悟新”实现知识的内化。初步明确有时可以进行三者的互化。

附：样表：

名称

解析法

列表法

图象法

说明

用等式(解析式)表示两个变量的关系

用表格表示两个变量的关系

用图象表示两个变量的关系

优点

函数关系清楚，由解析式可研究函数的性质

不必计算就可由自变量直接看出函数值

直观形象地表示函数的变化情况

实例

y＝ax＋b

y＝ax2＋bx＋c

y＝

y＝ ah

y＝

……

国内生产总值与年份的关系(展示P53表格)

银行里的利息表

数学用表中的平方根表等

……

人口出生率

心电图

股市走向图

常见解析式的图象(一次、二次函数图象)

……

备注

中学里研究的函数主要是可用解析式表示的函数

适用于适合用列表法的问题

适用于能作图或作图方便的问题

（三）、深化拓展、完善认知

【例1】  某种笔记本每个5元，买x(x∈{1，2，3，4})个笔记本的钱数记为y元． 是关于 的函数吗？如果是，请用恰当的方式表示。

例1是向学生展示函数的解析法、列表法、图象法的互化，了解离散型的函数的解析式、图象特征。为此我首先请学生自主讨论，然后结合学生回答，指出，因为定义域是有限集合，因此用列表法来表示这里x与y的关系，是很容易想到的。

个数

1

2

3

4

钱数

5

10

15

20

然后由上述表格，容易得出函数关系

（大部分学生将在定义域限制这一问题上出现遗漏，教师可在此略作停顿，让学生自己去发现问题，完善、建构知识）

在图象法这一问题上，引导学生回顾初中函数图象的画法是：列表、描点、连线。在这个题中，教师按照此步骤完成列表、描点两个步骤，并追问“还需要连线吗？”。让学生讨论，引起学生认知上的冲突。进而完成解题。

设计意图：我们把教材中的例题大胆的加以改动，使之成为一开放性的问题，增强探究的氛围。也让学生深切感受到三种表示方法之间的密切联系。在整个的探究过程中，教师通过鼓励、追问、甚至是设立陷阱（是否连线）的方式，来引导学生，使学生经常感受到观点的冲突，从而可以进行反思和批判，使自己的思维搞成得到优化。逐步建构自己的认识。

变式、若某种食盐每公斤5元，买 斤食盐的钱数记为 元． 是关于 的函数吗？如果是，请用恰当的方式表示。

（教师放手让学生去讨论，甚至争论），最后教师指出，在变式题中理论上定义域可为R＋，图象为一条射线(是连续的点)，不可能再用列表法表示。

设计意图：这个问题，颇具争议，有人从实际生活经验出发，也有人从理论上看。真可谓“仁者见仁，智者见智”。通过这一问题的探讨不仅能够让学生认识到相同数学问题在不同实际背景下有可能有不同思考方式这一重要事实，同时通过这一人人都能参与的问题，进一步调动学生的积极性，激发学生学习数学的热情，为后续内容的讨论作好铺垫。

小结与反馈：

1°  对于实际问题务必注意其定义域。

2°  注意某些函数的图象可以是一系列间断地、孤立的点。

巩固练习：画出函数 ，且 的图象。

设计意图：强化过手，完成知识的内化

附：例1教学的基本流程：

自主探索

变式丰满（理性认识）

小结巩固

初步建构

质疑完善（冲突、反思）

合作交流

【例2】  国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算：

1、信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依次类推；

2、信函质量大于100g且不超过200g时，每100g付邮资200分，即信函质量超过100g，但不超过200 g付邮资（ +200）分（ 为质量等于100 g的信函的邮资），信函质量超过200 g ，但不超过300 g 付邮资（ +400）分，依次类推.

设一封 的信函应付的邮资为 （单位：分），则 是关于 的函数。请用恰当的方式表示。

例2与例1一样，都是函数表示法在具体问题中的相互表示。同时让学生初步理解另一种重要的函数——分段函数。由于已经有了例1的铺垫，故采用对比教学法，教师提出问题：能否用列表法？既然不能，我们能否寻求用解析法或图象法表示？请同学们讨论。在此过程中，教师参与讨论，作个别辅导。在这里有两种思路：一是先用解析法，再根据解析式画出函数图象。在这种思路中，学生容易求得当 时， ；当 时， ；……，当 时， ，然而容易认为这是6个函数，这可以从定义域的角度作出阐释。因为这里求的是定义域在 的函数，以上6个函数的应当理解为在 的不同区间内取值，其对应法则不同，所以所求函数应当是一个函数，一般写成教材所示的形式。然后根据解析式画出函数图象，注意避免出现6条直线的情形；对于这道题的第二种思路是先根据题意画出函数的图象，然后由图象求解析式。在这种思路中，应当让学生辨析是否可以都是“实心圈”。

在分析完这种思路以后教师强调：象这种，自变量在定义域内的不同区间取值，对应法则不同的函数，我们一般把他们写成分段的形式（见教材）。这种函数称为分段函数。注意从定义域的角度理解分段函数是一个函数。

设计意图：将教材中的例题略加改动，又使之成为一个极佳素材。在这里充分发挥了学生的主体地位。让学生在比较、辨析过程中，通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼意志，培养合作精神。真正的做到让学生利用现有的知识去建构新的知识。

巩固练习：

1、画出函数 ，的图象。

2、已知函数 ，则 ， 若 ，则

3、已知函数 的图象如下所示，则

设计意图：1、让学生内化分段函数的概念、及图象的画法；2、内化分段函数概念的同时，为例3作好铺垫；3、一方面是对例2的第二种思路（由形到数）的巩固，同时为例3做铺垫。

问题四  由例1、例2和以前学过的相关知识，函数的图象可能是那些情形？

设计意图：适度形式化的需要，整合学生的认识。

附：例2教学的基本流程：

自主探索

动手探索

引导完善

小结反馈

引发冲突

（先式后图，先图后式）

合作交流

初步建构

（四）应用建模、提升能力

例3  21世纪乐园要建造一个直径为20米的圆形喷水池，如图所示.计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m，另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处会合.这个装饰物的高度应当如何设计？

这是一道综合性教强的题目。其目的在于通过该题的研究，展现函数的表示法的互化的必要性；渗透由形的定性特征到数（式）的转化，通过数（式）的定量特征反过来研究形，即数形结合的数学思想；体现了数学的建摸思想，强调数学在具体问题中的应用。该题难度较大，特别是由立体图形抽象出平面图形（抛物线）以及由平面图形（抛物线）联想求通过函数求解。

因此，我们考虑这样一种讲法：由于从立体图形中抽象出平面图象（抛物线）是切入问题的难点，为此，我们制作了喷泉的多媒体课件，通过对多媒体中，通过对喷泉直观演示观察，引导学生发现其对称性、让学生思考、讨论从对称性入手，可以进行怎样转化？学生合作、讨论。尝试作喷泉的剖面图，以转化为平面图形研究；进而再次引导学生，让学生观察得出喷泉的剖面图可以视为抛物线，而抛物线是二次函数图象，我们知道由于图象只能定性的刻画，而这里要定量的求具体的高度，所以仅仅由图象是不能解决问题的；所以自然联想到借助今天所学的知识，将函数的图象表示，转化为解析式表示。而要求该函数图象所对应的解析式，从而想到建立恰当的坐标系，根据已知条件利用顶点式求得二次函数的解析式，进行计算。这样，再教师的点拔、引导，学生讨论、大胆尝试下，完成问题的求解。需要特别指出的是，这里的建系方式不唯一，应当鼓励学生有其他的建系方式，但同时引导学生分析比较，最简单的建系方式。

回归

转化

抽象设计意图：

在这道题的分析过程中，立体图形 平面图形（抛物线） 函数解析式 具体问题中，实现具体问题的求解。这样不断出现新问题再解决新问题。培养学生善于转化，勇于探索的精神，实现知识的灵活运用，并培养学生学会“缺什么，找什么，要什么，求什么”的思维方法。

在讨论中，学生会有各种不同的建系方式，教师不能中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索，挖掘其中的合理成分，指出其中的不足，提出努力的方向。让每一个学生都能在赏识中建构知识，提升能力。

小结与反馈：

1°  再次回顾例3的分析过程，实现学生对分析方法、解题方法的内化。

2°  强调函数的三种表示方法各自的优劣决定了有时需要对它们进行相互转化。

3°  思想方法：函数建模、数形结合、化归与转化的数学思想方法。

附：例3教学的基本流程：

思考、猜想

展示图片（帮助思考）

多媒体演示，实现转化

合作交流（寻求切入点）

自主探索、合作交流

由形到数，再次转化

函数问题

完成求解

反思提炼

（五）、巩固反馈、复习小结

让学生之间相互讨论，实现起内化。然后由教师作出系统，以满足适度形式化的需要。

1°  函数的三种表示方法各自的优劣决定了有时需要对它们进行相互转化。

2°  函数概念的外延，特别是离散型函数和分段型函数。

3°  思想方法：数形结合、函数建摸的数学思想、

附：板书设计：

1、  知识回顾，创设情境；

①函数的概念（三要素）；②定义域优先；

2、  归纳对比、体验内涵

函数的三种表示方法：……

3、  深化拓展、完善认知

4、  应用建模，提升能力

5、巩固反馈，复习小结

六、评价分析：

在函数表示法的归纳、系统过程中，在例题的探究过程中，学生通过积极参与，勇于探索的学习方式，让学生的学习成为教师指导下的再创造，这符合建构主义理论的本质要求；遵循学生认知规律，尊重学生个体差异，立足教材，通过对例题的再创造，体现理论联系实际，循序渐进和因材施教的教学原则，让不同层次的学生得到不同层次的发展；通过激发兴趣，强调自主探索与合作交流，让学生逐步从学会走向会学，由被动走向主动，由课堂走向社会，为学生的终身学习和终身发展奠定良好的基础，这也是新课程所追求的基本理念。

在问题类比、方法迁移、归纳推理的思维训练过程中，力求做到师生的信息畅通，反馈及时，评价及时，矫正及时，学生思维活跃，教学活动始终处于教师期望的控制中。

教师

创设问题

情   境

学生

引导点拔

准确理解、灵活运用

达标巩固、发展能力

观察、类比

迁移、归纳

师生信息交流，反馈评价示意图

反馈