研究课——《函数的概念（2）》——赵一凡

学情分析：通过上一节课的学习，学生已经得出了用集合与对应的语言定义的函数的概念，并且对它有了初步的理解；但是这样的理解并不深刻。对于一些不能构成函数的非空数集与它们之间的对应关系组成的总体缺乏认识，或者说对于非空、数集、任意、存在、唯一等等这些关键因素认识还不到位，所以这节课有必要通过一些例子让学生对函数的概念做进一步理解；对于高中函数概念已经拓展了初中函数的概念这一事实也没有认识到，同样需要举例说明。其他方面也需要进一步的理解。

1.         教学任务分析

（1）进一步理解函数的概念

通过举例使学生建立对函数概念更为全面的认识，了解函数三要素，并且据此辨析函数是否相等。掌握区间的概念。理解函数对应关系的作用原理，了解整体换元的思想方法。

（2）通过初中函数概念与高中函数概念的对比，培养学生的探究能力。

（3）通过对比理解初高中函数的概念，培养学生积极进取，不断开拓创新的科学精神，体会科学进步的循序渐进。

2.         教学重点与难点

重点：进一步理解函数的概念

难点：函数概念的进一步理解，换元思想的运用。

3.         教学基本流程

回顾上节知识

↓

利用函数定义解释已学函数

↓

举例加深理解函数概念

↓

例题解析

↓

区间概念介绍

4.         教学情境设计

问题

问题设计意图

师生活动

（1）上次课我们做了什么事情？你从中获得了什么知识？

回顾上节教学环节与所学知识：通过三个实例，用集合与对应的语言概括函数的定义。

师：引导学生进行知识回顾，主要是函数的概念、三要素、强调关键处；

生：回顾上节课所学知识

说明：通过回顾上节课所做之事以及所学知识为本节课做好铺垫。实例3体现了值域是集合“ ”的子集这一现象，这些是我们进一步理解函数概念的好例子。对函数概念的回顾有助于及时进入研究氛围。

强调的关键处应包括：非空、数集、 中 的任意性、 中 的唯一性、函数概念的整体性、定义域和值域是集合。

（2）初中所学几类函数的定义域、值域、对应法则分别是什么？

通过对一次、二次、反比例函数使用集合与对应的语言进行表述，把对函数概念的理解从抽象的描述和概括转移到熟悉的函数例子上，加深对函数概念的理解。

师：引导学生指出一次、二次、反比例函数的定义域、值域、已经对应法则。

生：说出初中几类函数的定义域、值域、对应法则，通过熟悉的函数，进一步理解函数的概念。

说明：学生应不难回忆起初中所学三类函数：一次、二次、反比例。教师可先从一次函数入手，一个一个的问，比如：一次函数 的定义域是什么？值域是什么？对应关系又如何？之后总结成一句较长的话，学生通过模仿这句话自行总结二次函数和反比例函数。但要注意二次函数的值域稍微复杂。

（3）特殊的：函数 的定义域、值域分别是？函数 的定义域、值域分别是？一次函数 中对应函数值1的 有几个？对于值域中其他任一函数值，对应该函数值的 有几个？二次函数 中，对应函数值1的 有几个？值域中其他数字又是什么情况呢？从他们的情形，你得到了什么启示（能否依此将对应关系细化）？

通过对比一次函数和二次函数自变量和函数值对应情况指出“对应关系”的两类情形：一一对应和多对一；为指出一对多这种违反函数值的唯一确定性的情况做出铺垫。

师：引导学生回答问题，通过从简单函数入手，逐渐对对应关系进行分类。

生：回答问题，自主发现并体会函数对应关系中的这两类不同情形，理解一一对应和多对一的区别

说明：对于“一一对应”要求值域中的任何一个函数值，对应它的 只能有一个；而“多对一”只需要在值域中存在一个函数值 ，使得对应它的 是多个。这又是一个任意与存在的辩证关系，理解难度较大并且由于现阶段缺乏例子，所以在处理时可以不必深究。

分析完这两个简单的例子之后，可以让学生回答三个实例中对应关系各自是哪种情形。

（4）存不存在对应关系满足“一对多”情形的函数？结合实际，你能否构造出一个例子来？

通过对函数概念的解读，以及构造违背对应关系中函数值唯一性的反例，深化对函数概念的理解。

师：引导学生通过函数概念的要求来判断是否存在“一对多”这一情形；帮助学生构造反例，从概念和实例两方面来引导学生理解函数概念中关于“对应关系对于函数值的唯一性”的要求。

生：通过解读函数概念，分组讨论解决这一情形的存在性问题；并且继续讨论构造出一个“一对多”的例子来。加深对函数概念的理解。

说明：学生依据定义判断正确的成功率值得乐观，但是构造例子难度很大，教师可提供以下实例供学生参考：乐雅楼各楼层班级分布：非空数集 ，非空数集 ，对应关系为：对于 中的每一个数字，对应该楼层的班级编号。这就是一个一对多的实例。同时可以举解析式的例子 。可以趁热打铁做几个练习，他们分别违背了函数概念中的一些关键条款：

1、

2、下列图像中不能作为函数 的图像的是（  ）

3、下了说法哪个正确？

① 可以是从集合 到集合 的函数。

② 是从集合 到集合 的函数。

③ 是从集合 到集合 的函数。

④ 是从集合 到集合 的函数。

4、集合 ，集合 ，对应关系为，对于集合 中的任一数字，都对应集合 中的数字1，请问集合 以及他们之间的这种对应关系是否构成一个函数。如果是，你能否写出它的一个解析式？能否画出它的图像？又能否用列表的方法表示呢？

这3个练习中，1不是函数，因为自变量取值集合为空集。2选择B，因为违背了函数值的唯一性。3中①错误，因为存在 使得 不再集合 中。②错误，因为存在 不适应对应法则。③正确，④正确。但是③④恰好为“显然，值域是集合 的子集提供了例子”之后，可以回头分析当时同学们在本节开头实例三中对集合 的两种写法。4恰好就是函数 。

通过这几个辨析问题，能够使得学生加深对函数概念的理解。最后可以画出如下图形，在此加深学生对函数概念的理解：

函数

（5）例题解析

通过对教材17页例题1的解答，需要明白：对于不指明定义域的函数的定义域指的是使得整个解析式有意义的实数的集合。通过例题和变式进一步理解函数的概念。以及一般求多个表达式混合运算的定义域方法。

通过教材18页例题2，理解函数相等的概念，对三要素再次认识。

师：引导学生完成例题，通过变式训练，引发学生思考，加深对函数概念的理解。

生：结合函数概念，解答问题，更进一步理解函数的概念。

师生：共同解答例题

说明：例题1变式如下：（2）问中可以求 。可用方框替换 ，体会整体代换的思想方法。可将等号左边改写会 再求同样的问题。这样的问题对于学生来说是困难的，但却是可以理解的。

（6）介绍区间的概念

介绍区间的概念，学习一种表示实数轴上连续一段实数的集合的新方法。

师：介绍表示形式和注意事项，强调区间的集合本质，引导学生绘制区间

生：理解区间的集合本质，注意区间的写法，名称，学会绘制区间。

（7）练习以及作业。教材19页练习1、2、3。教材24页习题1.2A组1,2,3,4,5,6