一次函数与正比例函数

 第一次教学过程的反思

 1、引入的正方形就算是提前做过的，但是由于是在讲授函数之前做的，课后又没有进行讲评，所以在这个问题所花的时间相当多。并且由于上一节课的函数概念课，学生只是理解了函数的定义，但学生却不能用语言准确的描述出函数定义。所以在引例中用函数定义解释的时候就说的磕磕巴巴，耽误时间。  

1. 问题一中第一个问题在寻找变量的时候学生书写花去了很多时间。其次，用适当的方式表示关系式的时候，只有一位同学用了表格，一位同学用了图象（还不是很完整）但是利用这仅有的一个表格让学生观察变化规律就很容易了。当然学生在理解规律的时候，会回答随着自变量的增加因变量的变化情况，一开始并没有很准确的说出线性关系。其次，有学生发现了耗油量与路程的比值是一个固定值，这时却不知道怎么引导。

2. 问题二中，弹性限度内是决定自变量取值范围的重要条件，这时有学生就提出了问题，这个弹性限度怎么理解。

3. 在探索总结一次函数定义的时候，通过观察引例中的函数解析式的时候，有学生说出这些都是二元一次方程的。也有学生说所有的y系数是1，次数是1。等等一些列“不靠谱”的结论说出来，感觉就是天马行空。这时就会想到是不是自己的问题不够准确。回头再看自己的讲述语言的时候又发现问题就是一句“这些解析式有什么共同特点”。改成“观察以上的解析式，等号的左边都是因变量y，所有函数都是按照这个习惯来书写的，那么我们来看看等式的右边这个关于函数自变量的代数式有什么特点？”

    

                  第二次教学过程的反思

1. 本节课的主要目标：

   这节课按照教材的教学设置，很容易将其表面化。比如“理解正比例函数和一次函数的感念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式”这个目标就被很多老师着重于根据条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式上面。而对于目标中的“理解正比例函数和一次函数概念”中的理解二字就相对弱化了。

   理解二字是抽象的教学目标，在以往的教学经验中就会把它具体到“认识一次函数的解析式、并且会解一些相关的题”。然而一次函数的本质是什么，却没有体现出来。

   一次函数作为函数的特殊一种，与其它函数的区别就在于一次函数的变化规律是特殊的，是一次的线性变化。所以在探索一次函数定义的时候就要处处体现出这个区别来。所以这堂课的引入部分就要提出这种特殊的变化规律。

   引入的修改如下：

    正方形边长发生改变时，与它相关的一些数学量就会发生改变。若设正方形的边长为a，是一个变量，请写出与它有关的变量（设用字母表示）的关系来。

同学们是否还记得这个题？这里面与变量a成函数关系的变量有哪些？能否用函数的定义来解释呢？(复习函数的定义）

学生找到的函数关系式并用函数定义来解释后。提问：

上述这些变化关系都是函数关系，但是它们之间的变化规律是相同的吗？不一样。每一种函数都有各自的变化规律，那么今天这节课我们就来研究一种具有特殊变化规律的函数——一次函数与正比例函数。

将一个已经做过的问题拿出来重新提问，一方面是对函数有内容式的复习，显得不空洞和枯燥。其次是体现了了函数是特殊的变化规律，各自有变化规律。我们研究的一次函数就是有特殊变化规律的函数。为后面研究一次函数“线性”关系做铺垫。

1. 本节课的知识引导：

   再从实际问题抽象出一次函数模型的时候，需要发现一次函数变化规律的特殊点。也就是要发现“自变量x增加固定值，因变量y的变化量也是固定的”这种线性关系。并且在抽象出一次函数解析式后可以跟进k的代数意义就是因变量的变化量与自变量变化量的比值。就赋予了k值的实际意义。

   所以在引导学生发现了“线性”变化关系之后，要反过来利用解析式的知识去解释这个变化规律，就是找到k的代数意义。

   为了更方便可以将问题一和问题二交换位置，并且作为开放性的问题

   问题一：

        某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1kg，弹簧的长度就增加0.5cm.

   找出这个变化过程中的函数关系。并用适当的方式表示出来。

    

    

   （2）这些函数关系有什么变化规律吗？

    

    

   问题二：

   某辆汽车油箱中原有汽油60升，汽车每行驶50千米耗油6升。

     

   （1）用适当的方式表示出该变化过程中的函数关系。

   （2）说出这些函数关系的变化规律。

    

2. 概念课的生成与目的：

      概念的生成是一个探索的过程，而不是被动的告知过程。建立在学生已有知识水平之上，有目的、有策略的将其引向另个知识层面，达到现阶段可以掌握的知识量。这就是“从哪里起，如何去，到哪里”三部曲。本节课就是建立在七下变化过程的基础上，需要将具有特殊变化关系（函数的定义）抽象成函数关系，然后用函数的眼光去发现还有哪些变化关系式函数关系。

       所以在总结出一次函数的概念，并且对解析式有一个初步的认识后，需要利用一次函数的模型去解释生活中的一些具有一次函数变化规律的函数关系。可以让学生自己举出例子。从解析式或者变化规律两方面来进行解释。

      其次，作为一次函数这个模型的应用，在这节课上就是对实际问题构建一次函数的模型。所以需要借助一些生活实例来教会学生构建一次函数的模型，也是对一次函数这个概念的巩固。

   将拓展迁移放在实际应用上。而例1就作为学生举例时的一种补充。也是对一次函数与正比例函数的辨别。并且将知识迁移改成：   1、举出生活中还有哪些模型类似于例2的问题。 2、将一次函数