探索性数学活动之任务设计实施以及反馈

探索性数学活动之任务设计实施以及反馈

——以“平行四边形的性质”为例

毛小富1，王安翠2

 （四川省成都市双流区九江初级中学，四川双流 610200 ）

摘要：本文主要探讨了“平行四边形的性质”一课的教学设计中的数学任务设计以及实施后的反馈。从教材的任务的分析出发，归纳了教材中所蕴含的“操作活动——发现结论——证明结论”基本教学线索，同时针对每个教学任务的特点和局限进行了分析，并在此基础上重新设计了本课的教学任务和重新组织了知识学习的顺序，最后提出了探索性数学活动任务的特点以及任务设计策略的启示。

关键词：探索性；开放性；数学活动；数学思想方法

数学被誉为“思维的体操”！数学思维能力的培养历来是数学教育的传统和核心任务，正如著名数学教育家G.波利亚（1983）在ICME-4的报告中所强调：“数学是一门激发人类心智的学科，数学学习的一个最重要的目的就是学会更聪明地思考问题。”怎样在数学教学中培养学生的思维能力呢？林崇德先生认为：培养思维品质是发展智力与能力的突破口，并提出五种思维品质作为衡量思维的个体差异、判断智力层次的主要指标。我们把数学思维灵活性作为数学思维的核心品质之一，并聚焦研究在数学教学中如何培养这种思维品质。

研究表明，数学教学中影响学生的认知水平有两个主要因素：一是数学任务内在的认知要求，一是针对数学任务所采用的教学策略。为此，我们针对初中数学教学实践中的课例，以培养学生的数学思维灵活性为目标，展开两个方面的研究：一是针对教学设计中如何设计数学任务，主要探讨数学任务的特点以及设计的策略；一是针对这些数学任务在教学实施活动中的情况，学生的表现，教学策略的有效性以及任务的改进等方面的内容。根据相关文献和实践经验，我们首先提出了数学思维灵活性的基本含义是指思维能够根据情景或问题积极地对数学对象进行变化、转换以及关联，主要体现出三个方面的特征：善于变化，善于转换，善于关联。数学任务的设计和教学都围绕着数学思维品质的这几个特征进行。

本文的研究主要是针对北师大版8年级下册第六章“平行四边形”中第一节“平行四边形的性质”课例的任务设计，以及教学实施后反馈的情况讨论。

一、教材数学任务的认识

《数学课程标准》指出：数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。因此，我们首先研读教材，分析数学教材的意图，从而成为我们教学设计的基础。

1.教材任务再现

教材将“平行四边形的性质”分为两课时，第一课时主要研究“平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等”；第二课主要研究“平行四边形的对角线互相平分”，并综合运用平行四边形的性质解决简单问题 。

为了研究“平行四边形的性质”的结论，教材中安排了三个数学任务，分别如下：

任务1【提出平行四边形的定义】

平行四边形是生活中常见的图形，你能举一些实例吗？

从而给出平行四边形的定义，以及表示方法和平行四边形的基本元素。

显然，这是教材中本节的开篇问题，是一个具有实际背景的问题，意图在于把得到平行四边形定义的问题建立在学生是生活经验基础之上。

任务2 【做一做】

（1）           平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？

（2）           你还发现平行四边形的哪些性质？

这是一个活动任务，并要求学生通过合作与交流的形式，通过旋转平行四边形的活动，来获得结论。因此，本任务是通过学生的活动，借助几何直观，让学生认识到“平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点就是它的对称中心”的结论。

这个活动之后，同时我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等。请你尝试证明这些结论 。然后给出了下面“证明平行四边形的对边相等、对角相等”的数学任务。

任务3 【证明平行四边形的性质】

已知：如图，四边形ABCD是平形四边形。

求证：AB=CD,BC=DA

二、教学任务的新设计

“平行四边形的性质”任务设计

【基本认识】

1.      知识基础：平行线的知识，三角形全等的知识，对称图形的知识。

2.      基本知识与技能：平行四边形的基本认识、理解与符号表示；平行四边形的基本性质的理解与在几何图形中的认识；证明中的基本书写方法。

3.      基本思想方法：命题的逻辑关系的理解（“条件——>结论”的关系），推理与证明的方法（演绎证明的方法）；对整体图形分离出局部的几何模型的方法（包括辅助线的作法）。（重在理解与认识）

4.      基本活动经验：通过操作活动获得几何对象的性质，基于几何模型的分离与构造活动经验，基本的证明经验。（重在操作与体验）

【三个环节】

1.      操作活动的几何图形化（抽象的思想）；

2.      发现几何图形的性质（结论多样化）；

3.      证明结论（基本图形的思想，思路多样化）；

总体的思路与教材一致：“操作活动——发现结论——证明结论”。

【课前作业】

将教材中【做一做】改编后作为预习作业单（见后），减少在课堂中操作活动的时间。

【教学活动】

导入：平行四边形的基本抽象与表示方法以及基本元素的认识。

探究活动1 旋转平行四边形ABCD，发现结论

方法与策略

可以让学生先相互交流一下，要求讨论三点：第一，你们是怎样验证平行四边形是中心对称图形的？第二，看看大家得到了哪些结论？第三，说说你的理由（说理）

然后老师让学生回答展示，在学生回答的基础上，对操作过程进行完善，并对操作过程进一步抽象概括，图形化。

1.      学生讲述验证的操作活动

说明：这个操作活动实际上是要求学生说清楚它们得到结论的验证方案。操作活动要通过制作两个全等的平行四边形（比如，一个是ABCD，一个是A’B’C’D’）对角线交点为O和O’，将两个四边形重合，然后将A’B’C’D’绕O’旋转180度，发现两个平行四边形重合，才能说明平行四边形是中心对称图形。

老师可以制作两个同样大小的平行四边形，结合学生的讲述，现场演示。

然后把这个过程图形化，如下（可以结合操作演示，然后通过PPT显示补充说明）：

2.      学生讲述发现的结论，并说理

你们发现了什么结论？并说说你们的理由。

结合学生的结论，让学生结合具体平行四边形ABCD，写出具体的性质，如下：

如图（教师可以在黑板上画一个平行四边形，具体写出下面的结论，有利于学生的思维过程（括号内可以用文字表述结论）。

（1）：        AB=CD，AD=BC         （   对边相等  ）；

（2）：                              （             ）；

（3）：                              （             ）；

（4）：                              （             ）；

探究活动2 证明结论

说明：证明结论过程中，渗透基本图形的思想，并让学生尝试多种证明思路。

提问：你能证明其中哪些结论呢？你想到怎么证明呢？

方法与策略

老师可首先示例一个标准的证明（如教材第一个证明），讲解有关证明的要求和要点。

例1（可举教材第一个证明）：证明AB=CD，BC=DA。

证明结束后，教师进行回顾总结。

回顾（一）：总结证明方法的思想

（1）要证明线段相等，可以通过证全等三角形来证明；

（2）平行四边形没有三角形，于是通过作辅助线来构造三角形；

（3）平行四边形分成了更基本的三角形。

回顾（二）：从证明过程中你有没有新的结论？（比如，∠B=∠D）

回顾（三）：你还能想到什么新的证明思路呢（如果学生不太有想法，就可以提示：你还可以怎样将平行四边形分成三角形呢？）比如：

（1）BD将ABCD分成△ABD和△CDB，这与老师证明方法一致（可以让学生模仿练习一下）；

（2）还可以考虑△ADO和△CBO，△ABO和△CDO，虽然这个不能直接证明结论，但却有新的发现，当已经证明了AB=CD，AD=CB后，这两对三角形却全等了，于是可以得到对角线相互平分的性质。

注：对于教材中的例1，个人觉得在讲了平行四边形对角线平分后，把这个例题作为这个结论的一个变式较好，即将O点分别向A、C移动，形成了AE=CF。

说明：最初设计了一个预习作业单的问题，后来觉得还是用教材中【做一做】问题较好，不过，这个问题可以作为“判定”的预习作业单的题目，因此还是分享如下：

请首先作线段AB关于O的中心对称线段A’B’，你能从这些点构成的图形中发现什么结论吗？你能证明这些结论吗？

结论（尽可能多，多余结论可以写在后面）：

（1）                                      ；

（2）                                      ；

（3）                                      ；

（4）                                     ；

你能证明哪些结论？（写在下面空白处）

“平行四边形的性质”课业单

学校                   班级                 姓名                

【做一做】（此题作为家庭预习作业）

（1）平行四边形是中心对称图形。你能找到它的对称中心吗？你能设计一种方案验证这个结论吗？（你可以制作平行四边形，通过操作活动来说明）

（2）通过操作活动你能发现平行四边形哪些性质（结论），请写在下面（结论越多越好，你可以通过图形来写出你的结论），想一想，你的理由。

（1）：                                ；（2）：                              ；

（3）：                                ；（4）：                               ；

【证明结论】（下面的问题可以在课堂中做）

你会证明哪些结论呢？请画出图形，写出已知和求证，然后证明。想一想，还有别的证明思路吗？

三、讨论与启示

“平行四边形的性质”教学反馈

我上课后的反思：

基本的教学思路：操作活动——发现结论——证明结论。思维活动在于探究过程，而不是追求结果的活动。这个思路与最初的设计是很吻合的。

两个困惑：

第一，传统教学是从性质到中心对称图形，因为只有搞清楚了性质，才能严谨地说明白平行四边形是中心对称图形。新教材对此做了顺序上的调整，即从中心对称获得结论，然后才证明。这种调整目的和用意何在？

点评：传统的中心对称是基于形式化定义的中心对称，即对应点连线被对称中心平分，因此只有学了对角线互相平分才能得到平行四边形的中心对称图形。新教材是基于旋转变换的操作来定义中心对称，因此就可以通过操作活动来确认中心对称，从而为我们探索平行四边形的性质奠定了经验活动的基础。

第二，既然是探究活动获得结论，测量也是通过操作活动来获得结论（比如三角形全等），在这里是否可行？

点评：中心对称的操作活动比测量的操作活动在认知层次上是更高级的活动，是一种对图形整体认知上的操作活动。同时中心对称也为将来的变换概念的理解打下了基础，因此是更高级概念，同时中心对称可以让学生从整体上认识图形，而测量只能从局部来认识图形，并且首先要知道去找那些量之间的关系，而从整体认识图形，则有利于发现图形的性质。

听课教师点评：

第一，平行四边形的概念中的思维点。他认为，这里是从生活经验来抽象平行四边形的概念，主要有三个环节：其一是“看”（生活中的平行四边形），目的是获得生活经验，或者激活生活经验；其二是“画”（平行四边形图形），目的是抽象出几何图形，以及如何表述和表示图形；其三是“问”，平行四边形有什么特征，然后给出定义。

点评：这三个环节甚是精当，这体现了几何学习的几个基本环节。第一，几何的基础是生活的经验，从生活经验中找到几何对象的原型，这是建立几何概念的基础，所以“看”就体现了这一目的；第二，经验并不能自动转化成数学对象，必须要经历一个抽象的过程，于是要把经验对象形式化，这里表现为图形化，体现了数学抽象的方法，这也是最重要最核心的数学方法，所以“画”就体现了这一特点；第三，抽象出几何图形进一步分析其几何特征，这是基于图形认识的深化，前者可能是一个整体的形象，但是进一步分析是对图形的要素进行分析，并进一步从特征可以概括出数学对象的定义，“问”就体现了这一功能。另外，这三个关键词也体现了学生的主体性，让数学对象的概念是从学生的经验中自己建构出来。

从思维灵活性来说，这里体现的是平行四边形这个数学对象的建立与学生的多种数学活动关联起来。平行四边形概念首先是建立学生的生活经验基础的抽象之上，从而使平行四边形与现实生活中各种对象相联系，为平行四边形的应用奠定了基础。其次平行四边形抽象成几何图形，并不仅仅是建立了学生的“认知图景”，而是通过“画”（平行四边形）这样的操作技能相联系，学生不仅是头脑中活动了这个数学对象，而且可以用形式化的图形输出，这是重要的认知方式。最后，通过基于图形的基础进一步“问”（平行四边形的特征），并“描述”其定义。特征是对图形的要素的认识，这是一种分析性认知，体现了数学思维的向深刻性方向发展，但同时为进一步在分析平行四边形的性质（特征）的发散性方向奠定了基础。

第二，操作中验证平行四边形是中心对称的思维点。罗老师首先提出问题：通过操作活动来验证平行四边形是中心对称，这个任务设置的目的是什么？思维点在哪里？

他认为，如果设置的目的是说明平行四边形是中心对称图形，思维点应该在对称中心如何找，怎样知道对角线的交点是对称中心呢？

点评：这的确是一个很重要的思维点。提出这个问题，是让学生意识到这个选择变换中中心是怎样来的呢？一般情况，中心是被操作过程的粗略而被忽略，这个思维点可以引导学生追溯到中心对称的定义，要点D与B重合，显然要求中心是BD的中点，另外要A与C重合，要求中心是AC的中点，于是自然引出了对角线的交点是否是互相平分呢？当然，证明是后面完成，这里从操作活动来看是可行的。

第三，探究活动的思维点。他认为要通过思维目标来设计探究活动，因此最重要是理解探究活动中的思维目标。

点评：性质探究和证明方法探究是本节课两个最主要的目的，主要要体现学生思维活动沿着各个方向探究的灵活性。对于性质探究是希望通过操作活动的感知，然后图形化形成空间直观，在直观基础上发现各个方向的结论，并能结合图形的中心对称特征的分析，解释结论。对于证明方法的探究，主要体现证明结论的可能方向，而可能方向是沿着基本的数学思想方法来展开的，关键看学生有一些不同思路方向的想法，至于这些想法是不是成功地解决了问题，倒是一个其次的，也不在于是不是最优的方法，因为最优的方法只有在多种方法的比较中才能知道，并且这种方法这这个问题中解决是最优的，但在另外一个问题的解决中可能不一定是最优的，因此关键在于学生形成一些解决问题的思路，沿着不同思路能够展开探索。比如，证明平行四边形的对边平行，如AD=CB。

第一种方法是以AC为辅助线将平行四边形分成两个四边形。还有其他思路吗？

比如，为什么不可以以BD为辅助线呢？可以通过证明△ADO≌△CBO来证明吗？不行，又能给我们什么启示呢？它们是否全等，如果要全等，又应该证明呢？证明了之后，又能得到什么新的结果呢？

这样引导学生从一条思路延伸开去，思路的多样化就现实出来了，体现了思维灵活性的“变易”特点。

又比如，证明相等的思路中，可以考虑等腰三角形，你能构造等腰三角形证明吗？如图，作AE=AB，延长与DC延长交点是F，这样就可以转化为等腰三角形证明。

从而又再次进行了修改设计：

“平行四边形的性质”课业单

学校                   班级                 姓名                

首先，通过观察一组图片，找出图片中的平行四边形，让同学把你刚才看到的图像画出来（提示：平行四边形有什么特征？能否给平行四边形下个定义？）

【做一做】

1.平行四边形是中心对称图形吗？若是，

你是怎么找到它的对称中心的？你怎样

验证你的结论？（请将你的验证用图形

来说明，图形画在右边空白处）

2. 通过操作活动你能在平行四边形图形中发现哪些结论，请结合图形写出来（越多越好）想一想，你的理由是什么？

（1）：                                ；

（2）：                                ；

（3）：                                ；

（4）：                                ；

【证明结论】

你会证明上面哪些结论呢？请选择一个结论证明，要求画出图形，写出已知和求证，然后写出证明过程。想一想，你的思路是什么？还有别的证明思路吗？

这次设计增加了“看平行四边形——画平行四边形——给出平行四边形定义”的过程作为探索活动一，然后又增加了将平行四边形旋转过程用图形的方式画出来。主要是增加了将操作过程变成具体的图形。

本设计是基于教材分析和教材任务的基础上，对教学任务进行了改编，并重新安排了知识学习的顺序。新的教学任务突出了数学任务的开放性、探究性，数学任务的特征是紧紧是围绕数学思维灵活性的基本特征出发来设计的。

数学教学活动常常是围绕解决数学问题而展开，数学问题构成了数学任务的核心。怎样设计数学中的数学问题或者以思维品质培养为核心的数学任务具有什么特点呢？下面围绕数学问题的特点展开讨论，并为任务设计策略提供一些启示。

1.变封闭问题为开放性问题

当问题从封闭性问题变为开放性问题之后，问题解决就要求学生从不同思维方向来考虑问题，解决问题的路径就可能出现多种策略，从而扩大的思维空间，为学生思维灵活性产生“变易”的特征奠定了基础。

2. 变指向单一的问题为指向综合的问题

“指向单一”是指问题中指示学生观察或分析问题的方向单一，而“指向综合”是指问题指示学生观察或分析问题的方向具有多个可能的方向。从思维上来看，指向综合，就把学生的思维方向导向了更多元的方向，同时也可以突出不同方向，不同量之间的转换和关联，从而为数学思维灵活性奠定“转换”和“关联”的基础。

3. 突出数学思想方法的核心

数学思维活动最终是建立在数学思想方法的基础之上的，因此在数学任务的设计中要突出数学思想方法。本课的任务设计思路在总体上蕴含了教材任务中所蕴含的“操作活动——发现结论——证明结论”的线索进行，体会到通过空间直观想象，从直观感知到超越经验的认知活动，等数学思想。因此，在教学任务的设计中，数学问题不仅具有开放性和探究性，而且是围绕数学思想方法的核心进行。这样就保障了学生数学思维品质的发展过程中，是以数学思想方法来统领数学问题在开放和探究中的变化，体现了数学思维“变易”，即变中有不变的特征，实现问题解决中的“转换”和“关联”都以数学思想方法为纽带。