数学思维开放性的培养：探索性数学活动之任务设计及实施反馈

数学思维开放性的培养：探索性数学活动之任务设计及实施反馈

——以“平行四边形的性质”为例

王安翠

（成都市双流区九江初级中学，四川双流，610200）

摘要：我们主要探讨了“平行四边形的性质”一课的教学设计中数学活动任务设计以及实施后的反馈。从教材中数学活动任务的分析出发，归纳了教材中所蕴含的“操作探究——获得猜想——验证猜想”基本教学线索，同时针对每个教学任务的特点和局限进行了分析，并在实践反思的基础上重新设计了本课的教学任务、重新组织知识学习的顺序，最后提出了探索性数学活动任务设计的特点以及实施后的思考。

关键词：探索性；开放性；数学活动；数学思想方法

数学堪称“思维的体操”。数学思维能力的培养历来是数学教育核心任务，培养学生良好的思维方法和思维习惯是数学教学的终极目标。我们把数学思维的开放性作为数学思维的核心品质之一，并聚焦研究在数学教学中如何培养这种思维品质。

数学教学中影响学生的认知水平有两个主要因素：一是数学任务内在的认知要求，一是针对数学任务所采用的教学策略。为此，我们针对初中数学教学实践中的课例，以培养学生的数学思维开放性为目标，展开两个方面的研究：一是针对教学设计中如何设计数学任务，主要探讨数学任务的特点以及设计的策略；一是针对这些数学任务在教学实施活动中的情况，学生的表现，教学策略的有效性以及任务的改进等方面的内容。数学任务的设计和教学都围绕着数学思维品质的这几个特征进行。

这次研究主要是针对北师大版8年级下册第六章“平行四边形”中第一节“平行四边形的性质”课例的任务设计，以及教学实施后反馈的情况讨论。

一、教材数学任务的认识

《数学课程标准》指出：数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。因此，我们首先研读教材，分析数学教材的意图，从而成为我们教学设计的基础。

（一）教材任务再现

教材将“平行四边形的性质”分为两课时，第一课时主要研究平行四边形的边和角的性质；第二课主要研究平行四边形的对角线的性质，并综合运用平行四边形的性质解决简单问题。

为了研究平行四边形的性质，教材中安排了三个数学任务，分别如下：

任务1【提出平行四边形的定义】

平行四边形是生活中常见的图形，你能举一些实例吗？从而给出平行四边形的定义、表示方法和平行四边形的基本元素。

显然，这是教材中本节的开篇问题，是一个具有实际背景的问题，意图在于把得到平行四边形定义的问题建立在学生的生活经验基础之上。

任务2 【做一做】

（1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？

（2）你还发现平行四边形的哪些性质？

这是一个活动任务，并要求学生通过合作与交流的形式，通过旋转平行四边形的活动，来获得结论。因此，本任务是通过学生的活动，借助几何直观，让学生认识到“平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点就是它的对称中心”的结论。

A

B

C

D这个活动之后，同时我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等。请你尝试证明这些结论 。然后给出了下面“证明平行四边形的对边相等、对角相等”的数学任务。

任务3 【证明平行四边形的性质】

已知：如图，四边形ABCD是平形四边形。

求证：AB=CD，BC=DA

（二）教材分析

我们注意到教材中以上三个任务主要是针对平行四边形的概念及性质，而对性质的探索又是本节课的主体。三个数学任务实际上揭示了探索活动的基本线索：操作探究——获得猜想——验证猜想。通过探索活动，对平行四边形有基本认识，并理解平行四边形的是中心对称图形和平行四边形的对边相等、对角相等的基本结论，以及介绍了表示方法和基本元素等知识。教材中这些信息构成了我们认识本课以及进一步教学设计的基础。

学生在小学数学中已经对平行四边形有所认识，这里通过展现现实生活中的实例，进一步让学生感受和认识平行四边形的本质特征。为了通过本课的教学针对学生数学思维开放性的培养，我们进一步对数学任务背后学生的思维认知活动展开分析。

对于任务1：平行四边形有多种定义的方式，教科书选择“两组对边分别平行”作为平行四边形的定义，为什么要选择“两组对边分别平行”作为平行四边形的定义，这与接下来的任务2是否存在着某种必要的联系，成为了我们新的任务设计的起点。

对于任务2：平行四边形性质的探索方法是比较多的，如：用刻度尺量各边的长度判断对边是否相等、用平移三角板的方法来探究对边是否平行等，为什么要选择旋转来探究，其优势在哪里，探究的思维起点在哪里？因此，在这个活动任务中，学生是被动的。这正是我们针对这个任务设计的思考起点。

对于任务3：在发现平行四边形有关性质的基础上，鼓励学生思考如何对这些性质进行证明，而研究平行四边形的主要辅助线是对角线，根据教材的安排，对平行四边形的对角线的探究学习放在第2课时，本节课学生的注意力都放在了边和角上，那么引导学生从任务1的探究中寻找启发是关键。

 二、教学任务的新设计

（一）对于“平行四边形的性质”我们是这样来认识的：

1.知识基础：平行线的知识，三角形全等的知识，对称图形的知识。

2.基本知识与技能：平行四边形的基本认识、理解与符号表示；平行四边形的基本性质的理解与在几何图形中的认识；证明中的基本书写方法。

3.基本思想方法：命题的逻辑关系的理解（“条件→结论”的关系），推理与证明的方法（演绎证明的方法）；对整体图形分离出局部的几何模型的方法（包括辅助线的作法）。（重在理解与认识）

4.基本活动经验：通过操作活动获得几何对象的性质，基于几何模型的分离与构造活动经验，基本的证明经验。（重在操作与体验）

（二）在这样认识的基础上，我们设计了这样的三个环节：

1.操作活动的几何图形化（抽象的思想）；

2.发现几何图形的性质（结论多样化）；

3.证明结论（基本图形的思想，思路多样化）；

4.总体的思路与教材一致：“操作探究——获得猜想——验证猜想”。

（三）课堂教学任务设计

1.课前经验活动任务

我们将教材中【做一做】改编为预习课业单，任务2是旋转平行四边形的操作活动，基于这个任务，我们将其放置在课前，意在激活学生对平行四边形已有的经验和认识，并减少在课堂中操作活动的时间。预习课业单如下：

1.平行四边形是中心对称图形。你能找到它的对称中心吗？你能设计一种方案验证这个结论吗？（你可以制作平行四边形，通过操作活动来说明）

2.通过操作活动你能发现平行四边形哪些性质（结论），请写在下面（结论越多越好，你可以通过图形来写出你的结论），想一想，你的理由。

（1）          ；（2）          ；（3）          ；（4）          .

2.课堂引入任务

在课堂教学的导入环节，我们意图通过对实物的观察，让学生获得平行四边形的直观感受，并直接让学生建立起的平行四边形的知识基础，以便在探究活动中，让学生学习用符号来表示平行四边形。任务设计如下：

A

B

C

D教师讲解平行四边形的概念，进一步介绍平行四边形可以用符号“□”来表示。板书如下：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如图，四边形ABCD是平行四边形，记作□ABCD.

接着，结合图形为学生讲解平行四边形的对边、对角及对角线的相关知识.

在此学习的基础上，提出：在本学期第三章的学习中，我们认识了中心对称图形，平行四边形是中心对称图形吗？

这个问题的提出，意在引导学生探究平行四边形的中心对称性，并培养学生建立前后知识的联系的良好学习习惯。这个问题也是学生进一步探究平行四边形的其他性质的基础，是平行四边形性质探究的核心内容之一。

3.课堂教学核心任务

任务1：经验性操作探究任务

基于教材中的一个经验性活动的任务，我们改造设计成了一个开放性的探索性任务，任务如下：

把平行四边形ABCD绕某个点旋转，在此过程中要注意思考解决一下三个问题：

1.你们是绕那个点旋转的？（即寻找平行四边形的对称中心）

2.通过观察，你们有哪些新的发现？（即寻找平行四边形的边和角的性质）

3.你们如何说明自己的新发现的正确性？（即尝试验证猜想）

C

D

A

B在教学方法和探究策略的设计上，采取分组活动、代表发言方式，由教师与学生共同归纳如下：

方法1：把书直接倒过来看

方法2：画一个平行四边形，剪下来再旋转.（如右图）

方法3：画一个平行四边形剪下来，先记下各顶点的字母，再旋转.

教师制作两个同样大小的平行四边形，让学生现场演示，同时说明操作的方法，然后教师引导学生把这个过程图形化，如下：

A

B

C

D

O

A′

B′

C′

D′

O′

重合，旋转

A(C′)

B(D′)

C(A′)

D(B′)

O(O′)

（也可以结合操作演示，然后通过PPT显示补充说明）

让学生归纳自己在操作过程中的新发现，并将其按如下的方式进行整理：

A

B

C

D

O（1） AB=CD，AD=BC （对边相等）；

（2）              （         ）；

（3）              （         ）；

（4）              （         ）.

……

从探索数学活动的思维发展角度来看，学生在不断重复的操作过程中，从不同角度展开思考，获得对平行四边形不同基本元素的不同思考和认知，体现了数学思维开放性的“横向延伸”特点。同时，任务设计中没有如教材那样让学生寻找平行四边形的性质，而是让学生总结自己的发现，发现不单指平行四边形固有的性质，这样不至于禁锢学生的思维，这不仅突出了学生的探究性活动，同时又紧紧围绕培养学生思维开放性的特点开展教学活动。

任务2：理论性验证猜想

基于教材中证明结论的任务，我们改变设计了一个开放性的活动任务，让学生选择其中一种猜想进行证明，意在渗透建立基本几何图形模式的数学思想渗，同时引导学生的数学思维想开放性发展.

学生在这个活动任务中，想法并不多，教师可引导学生从任务1的探究中来寻找启发，并从方法上进行点拨.

例：证明AB=CD，BC=DA.

方法分析：（1）证线段相等的方法回顾，哪种方法在这里比较合适？（利用全等三角形的对应边相等）.（2）平行四边形里没有三角形怎么办？（添加辅助线来构造全等三角形）.（3）辅助线如何添加？（从任务1的探究中寻找启发）平行四边形分成了更基本的图形：三角形。

从思维上来看，这个任务的核心是通过基本几何图形的建构，引导学生从不同角度分析“平行四边形对边相等”成立的“理由”，在此基础上还会有新的发现：“平行四边形的对角相等”也同时得到了验证。这不仅让学生深入理解了平行四边形边、角性质背后的原理，而且有利于学生思维开放性的“横向延伸”特征的养成。

三、讨论与启示

新的教学设计实施后，我们基于教学中的反馈进行了深刻的讨论并且由此得到了一些启示。我们设计的基本教学思路是：“操作探究——获得猜想——验证猜想”。思维活动在于探究过程，而不是追求结果的活动。这个思路与最初的设计是很吻合的。

（一）我们进行如下三个方面的讨论

第一，平行四边形的概念中的思维点。这里是从生活经验来抽象平行四边形的概念，主要应有三个环节：其一是“看”（生活中的平行四边形图案），目的是获得生活经验，或者激活生活经验；其二是“画”（平行四边形图形），目的是抽象出几何图形，以及如何表述和表示图形；其三是“问”，平行四边形有什么特征，然后给出定义。

我们获得了如下启示：

第一，几何的基础是生活的经验，从生活经验中找到几何对象的原型，这是建立几何概念的基础，所以“看”就体现了这一目的；第二，经验并不能自动转化成数学对象，必须要经历一个抽象的过程，于是要把经验对象形式化，这里表现为图形化，体现了数学抽象的方法，这也是最重要的、核心的数学方法，所以“画”就体现了这一特点，因此任务设计中还应增加“画”这一活动任务；第三，抽象出几何图形进一步分析其几何特征，这是基于图形认识的深化，前者可能是一个整体的形象，但是进一步分析是对图形的要素进行分析，并进一步从特征可以概括出数学对象的定义，“问”就体现了这一功能。另外，这三个关键词也体现了学生的主体性，让数学对象的概念是从学生的经验中自己建构出来。

从思维开放性来说，这里体现的是平行四边形这个数学对象的建立与学生多种数学活动的关联。平行四边形概念首先是建立学生的生活经验基础的抽象之上，从而使平行四边形与现实生活中各种对象相联系，为平行四边形的应用奠定了基础；其次平行四边形抽象成几何图形，并不仅仅是建立了学生的“认知图景”，而是通过“画”（平行四边形）这样的操作技能相联系，学生不仅是头脑中活动了这个数学对象，而且可以用形式化的图形输出，这是重要的认知方式；最后，通过基于图形的基础进一步“问”（平行四边形的特征），并“描述”其定义。特征是对图形的要素的认识，这是一种分析性认知，体现了数学思维向纵深方向的发展，同时又为进一步在分析平行四边形的性质（特征）的思维开放性方向奠定了基础。

第二，操作中验证平行四边形是中心对称图形的思维点。我们首先提出问题：通过操作活动来验证平行四边形是中心对称图形，这个任务设置的目的是什么，思维点又在哪里？

我们认为，如果设置的目的是说明平行四边形是中心对称图形，思维点应该在对称中心如何找，怎样知道对角线的交点是对称中心呢？

教学任务实施给了我们这样的启示：这的确是一个很重要的思维点。提出这个问题，是让学生意识到这个旋转变换的中心是怎样来的呢？一般情况，旋转中心易因操作过程的粗略而忽略，这个思维点可以促使学生的思维追溯到中心对称的定义，要点D与B重合，显然要求中心是BD的中点；同理，要A与C重合，要求中心是AC的中点，于是引出了对角线的交点就是要找的中心，而对角线是否是互相平分呢？当然，证明是后面完成，这里从操作活动来看是可行的。

第三，探究活动的思维点。我们认为要通过思维目标来设计探究活动，因此最重要是理解探究活动中的思维目标。

我们获得的启示是：性质探究和证明方法探究是本节课两个最主要的目标，体现学生思维活动沿着各个方向探究的开放性。对于性质探究是希望通过操作活动的感知，将操作过程图形化形成几何直观，在此基础上发现各个方面的结论，并能结合对图形中心对称性的分析解释结论。对于证明方法的探究，主要体现证明结论的可能方向，而可能方向是沿着基本的数学思想方法来展开的，关键看学生是否有一些不同思路的想法，至于这些想法是否成功地解决了问题则是其次的，也不在于是不是最优的方法，关键在于学生形成一些解决问题的思路，沿着不同思路能够展开探索。

比如，证明平行四边形的对边AD=CB。

第一种方法是以AC为辅助线将平行四边形分成两个四边形。还有其他思路吗，为什么不可以以BD为辅助线呢，可以通过证明△ADO≌△CBO来证明吗？不行，又能给我们什么启示呢？它们是否全等，如果要全等，又应该证明呢，证明了之后，又能得到什么新的结果呢？

这样引导学生从一条思路延伸开去，思维的多样化就显现出来了，这不仅体现了思维开放性的“横向延伸”特点，同时也体现了思维严谨性的“纵向深入”特点。

（二）基于实施反馈和研讨其实后的设计修改

我们主要是对任务1进行了修改。在“看”（生活中的平行四边形图案）的基础上，增加了“画”（平行四边形）这样的一个探究活动任务，让学生把看到的图形画出来，并思考自己的画法背后隐藏的原理，再基于此尝试着给平行四边形下个定义，这样，探索就活动沿着“看平行四边形——画平行四边形——给出平行四边形定义”的线索展开。

我们的设计是基于教材分析和教材任务的基础上，对教学任务进行了改编，并重组了知识学习的顺序。新的教学任务突出了数学任务的开放性、探究性，数学任务的特征是紧紧围绕数学思维开放性的基本特征出发来设计的。

四、任务设计的策略分析

数学教学活动常常是围绕解决数学问题而展开，数学问题构成了数学任务的核心。怎样设计数学问题，以思维品质培养为核心的数学任务具有什么特点呢？下面我们围绕数学问题的特点展开讨论，并为任务设计策略提供一些思考。

1.变封闭问题为开放性问题

封闭问题通常是从指定的条件出发，探究出必然的结论；而开放性问题则是在条件允许的情况下，问题思考方向和解决途径出现多样性。如教材任务1，条件是一个四边形是平行四边形，问的是平行四边形是中心对称图形吗？这个问题的条件和结论都是确定的，解决问题的思维路径相对简单。我们将问题改成平行四边形具有怎样的对称性，这会把学生的思维引向对轴对称性和中心对称性的双重思考，学生的数学思维开放性就得到了培养。当问题从封闭性问题变为开放性问题之后，问题解决就要求学生从不同思维方向来考虑问题，解决问题的路径就可能出现多种策略，从而扩大的思维空间，为学生思维开放性产生“横向延伸”的特征奠定了基础。

2. 变指向唯一的问题为指向综合的问题

“指向唯一”是指问题指示学生观察或分析问题的方向唯一，而“指向综合”是指问题指示学生观察或分析问题具有多个可能的方向。比如教材中任务中，要求学生思考平行四边形有哪些性质？尽管是围绕课堂任务核心在提问，但也限制了学生考虑问题的思路，思维路径指向唯一，不利于学生思维开放性的培养。我们将问题修改为让学生归纳自己的发现，学生除了能归纳出平行四边形的性质，还可能发现其中的全等三角形等结论，为后面证明平行四边形的性质做铺垫。从思维上来看，指向综合，就把学生的思维方向导向了更多元的方向，同时也可以突出不同方向，不同量之间的转换和关联，从而为数学思维开放性奠定“横向延伸”的基础。

3. 突出数学思想方法的核心

数学思维活动最终是建立在数学思想方法的基础之上的，因此在数学任务的设计中要突出数学思想方法。本课的任务设计思路在总体上蕴含了教材任务中所蕴含的“操作探究——获得猜想——验证猜想”的线索，体现了数学学习要将实际问题数学化的过程，让学生体会到通过空间直观想象，从直观感知到超越经验的认知活动等数学思想。因此，在教学任务的设计中，数学问题不仅具有开放性和探究性，而且是围绕数学思想方法的核心进行。