从《二元一次方程（组）》的反复磨课中体会概念课的教学

从《二元一次方程（组）》的反复磨课中体会概念课的教学

双流区九江中学   王安翠

在10月28日举办的八年级区级教研会上的关于《二元一次方程（组）》的公开课，我从我们学校戢老师的磨课中渐渐地体会到了如何上好一堂概念课。

这节知识包括了四个概念：什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程的解？什么是二元一次方程组的解？在这以前很多老师上这节知识的时候都存在将四个概念讲不完的情况时有发生，并且上课情况相当枯燥，教师就是一个一言堂的演说家，学生就是一个接收知识的机器，观看这堂课的教师听得毫无兴趣，就想打瞌睡。当时我们都在思考“怎么会选到这节课，这么不好上的课？”，但是既然选择了，就得坚持到底。没办法就只有想办法改变教学设计和反复的磨课。这是戢老师初次的教学设计：

一、复习回顾

（教师提问）同学们，你还记得以前所学过的方程的概念吗？一元一次方程的概念呢？一元一次方程的解的概念呢？

（板书内容）

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程。

（教师提问）那同学们能否依照这个概念给二元一次方程下一个定义呢？

（教学设想）

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程。

二元一次方程：只含有两个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程。那究竟同学们给二元一次方程下的定义是否准确呢？我们今天就来认识下这种方程。

（板书标题）认识二元一次方程

二、情境创设（一）

（教师提问）同学们，请你用自己所知道的数学知识对这个问题进行解答。

（教学设想）学生可能会回答用一元一次方程的方法来解答，教师应该鼓励学生。并提出还有其他的解法吗？最终引导学生列出两个二元一次方程。

三、情境创设（二）

（教师提问）同学们，请问你能否用刚才的方法对这个问题列出方程。

（教学目的）引导学生得到两个二元一次方程。

四、新课讲解

（教师提问）上面的两个问题中，我们分别得到方程 ， 和 ， 。那同学们你们说这几个方程如果按照先前给出的二元一次方程的定义的话，能否称为二元一次方程呢？

（教学设想）学生的回答多半会说是二元一次方程。接下来教师需要纠正一些错误。

五、重新认识

下列方程有哪些是二元一次方程：（采用独立思考+小组讨论形式）

（1）  （2）  （3）  

（4）  （5）  （6）  

（教学设想）如果按照之前给出的二元一次方程定义，学生会认为第（5）小题是二元一次方程。但教师一定要引导学生观察其和第（1）、第（3）小题的区别，然后给学生时间再小组讨论，结合学生的回答，教师引导学生得出二元一次方程的定义。如果学生认为第（5）小题不是二元一次方程，那教师需要追问学生为什么？如果按照同学们给出的二元一次方程的定义，它就应该是二元一次方程呀。

（教学目的）教师设置一个教学障碍，就是要让学生明白：“学”需“疑”，把学生带入疑问中，再从疑问中得到真正的真理。这是对概念学习尤其重要，特别是一字一句的理解。

（板书定义）

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程。

二元一次方程：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的整式方程。

六、继续讲解

回到“老牛和小马”的故事中，两个方程 ， 中， 所代表的对象相同吗？ 所代表的对象相同吗？因此，把这两个方程用大括号联立起来，得到了一组方程 ，于是给出二元一次方程组的概念：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

（板书定义）

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程。

二元一次方程：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。

二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。

这里特别强调一下我们所说的几元几次方程都是指的是整式方程。

七、练习巩固

下列哪些是二元一次方程组，教师需要及时引导。

（1）  （2）  （3）  （4）  

八、做中体会

回顾一元一次方程的解的定义：。再让学生推出二元一次方程的解的定义。通过“老牛与小马”的故事，最后得出二元一次方程组的解的定义。

（板书定义）

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程。

二元一次方程：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。

二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。

（板书定义）

一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边成立的未知数的值。

二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值。

二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。

九、练习巩固

1、下面4组数值中，哪些是二元一次方程 的解？

 （1）    （2）    （3）    （4）  

2、二元一次方程组 的解是      

 （1）    （2）    （3）    （4）  

十、课堂小结

谈一谈这堂课你有哪些收获？

十一、延伸拓展，请你利用  编写一道应用题。

当第一次戢老师上课的时候，跟以往教师上课情况差不多，教学设计也大同小异，就是按照教课书上的内容和设计按部就班的进行，听他的整个一堂课跟上述感觉完全一样，第一次课后，我们工作室罗老师就说这堂课必须改，不能再按照以往经验这样教学了，然后进行了指导修改，得到了下面第一次修改的教学设计：

环节一、明确研究对象

（提问1）：同学们，你们想知道老师的年龄吗？我举一个例子，如果设老师年龄为 岁，其中一位同学的年龄为14岁，两个人的年龄加起来有42岁。你能否列出关系式？

（追问1）：如果再设另外一名同学的年龄为 岁，老师和这名同学的年龄加起来为42岁，那么你能否列出关系式？

（提问2）：“老牛与小马的故事”

同学们，如果设老牛驮了 个包裹，小马驮了 个包裹。

那么老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此得到怎样的方程？

若老牛从小马背上拿来1个包裹，则老牛的包裹数是小马包裹数的两倍，由此又得到怎样的方程？

（提问3）：“公园门票问题”

请同学们用刚才的观点再来看看这个问题。

环节二、形成二元一次方程的概念

（提问4）：上面的几个问题中，我们分别得到方程  ； ， 和 ， 。那同学们你们说这几个方程各含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？

（板书概念）含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

（提问5）：下列方程有哪些是二元一次方程：（采用独立思考+小组讨论形式）

（1）  （2）  （3）  

（4）  （5）  （6）  

环节三、形成二元一次方程解的概念

（提问6）：类比一元一次方程解的概念，你能归纳出二元一次方程的解的概念吗？

（板书概念）使二元一次方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

（提问7）：对于 ，你能求出它的解吗？你能尝试着写几个吗？这些解你是如何算出来的？

环节四、形成二元一次方程组及其解的概念

（提问8）：对于老师与学生年龄问题 ，我们知道了它的解不唯一，那么同学们能否增加一个条件使其解唯一确定吗？（独立思考+小组合作+教师引导、归纳）

（引出概念）共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

（追问1）：你是如何知道你所增加的这个条件就一定能我和这位同学的年龄确定呢？

（引出概念）：同时满足两个方程的未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

（提问9）：下列哪些是二元一次方程组

（1）  （2）  （3）  （4）  

（提问10）：二元一次方程组 的解是      

 （1）    （2）    （3）    （4）  

环节五、进行合作反思与深化提高

（提问11）：本节课研究了哪些内容？我们是如何学习本节课知识的？你觉得本节课后，我们将学习什么内容？

环节六、尝试着给自己延伸拓展

                                  尝试着画周长为40的长方形？

                                  相互交流下你们所画的长方形一样吗？

                                  怎样才能使这个长方形确定呢？

在第一次修改的基础上，第二天戢老师又再次上了这堂课，明显课变得流畅多了：（提问1）：同学们，你们想知道老师的年龄吗？我举一个例子，如果设老师年龄为 岁，其中一位同学的年龄为14岁，两个人的年龄加起来有42岁。你能否列出关系式？

（追问1）：如果再设另外一名同学的年龄为 岁，老师和这名同学的年龄加起来为42岁，那么你能否列出关系式？使用了老师的年龄来作为本堂课的引入并且经过顺序的调整，整堂课的逻辑性明显增强了许多，但是还是显得比较生硬，不是很自然、和谐。接下来进行了第二次教学设计修改。

得到了第二次修改的教学设计如下：

环节一、设置情境，提出问题

教师引言：同学们，我们做一个很简单的游戏，***同学，你告诉大家：你的年龄是（  ）岁？如果我告诉我们年龄和是42岁，你知道我的年龄吗？

问题1.你用的是什么方法？

2.如果用方程你能表达我们年龄之间的关系吗？

3.列出方程只需做一件什么事，我们就可得到我的年龄？

问题2：现在我直接告诉全班同学，某一同学和我年龄加起来是42岁，你们能类比刚才所用方法，用方程表示我和这位同学间的年龄关系吗？

提出问题：显然仅仅一个一元一次方程是不完全能表达生活中量的，今天我们将学习“二元一次方程”  教师板书：“二元一次方程”

环节二、新知探究

探究1、形成二元一次方程的概念

学生活动：

引例：同学们能用生活中实例说明x+y=42具体生活意义吗？下面的实际问题的数量关系也会表达吗？

1.    多举几个实际问题让学生列方程（举例是哪些？）

。。。。。。。。。。。。。。。

2.观察：这几个方程有什么特征？

3.归纳

学生说：

教师板书：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

4.概念辨析

下列方程有哪些是二元一次方程：

（1）   （2）   （3）  

（4）    （5）      （6）

探究2、形成二元一次方程解的概念

思考：回到刚才我们用 表达的我和某同学年龄间关系，用该方程你们能说出我和这名同学的年龄吗？对于 ，你能找出满足该式中的x和y的值吗？这些解你是如何算出来的？

回顾：一元一次方程解的概念，归纳出二元一次方程解的概念。

教师板书：使二元一次方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

概念辨析

下面4组数值中，哪些是二元一次方程 的解？

（1）     （2）     （3）     （4）  

2.试求出方程2x+3y=5的解

探究3、形成二元一次方程组的概念

问题思考：我们无法用一个二元一次方程 来确定老师和同学的年龄，你们知道是什么原因吗？我们继续研究下面的问题

例、观察“老牛与小马的故事”图片，请同学们回答下列问题：

1.图片信息中隐含告诉了我们什么数量关系？

那么老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此得到怎样的方程？

若老牛从小马背上拿来1个包裹，则老牛的包裹数是小马包裹数的两倍，由此又得到怎样的方程？

2.问题情境中涉及量是牛驮的包裹数和马驮的包裹数，如果我们分别用x和y表示，你们能列出方程吗？

3.尝试探究

（门票问题）

4.归纳方程组概念

教师板书：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

概念辨析：

下列哪些是二元一次方程组（下面较多，可以考虑只选1个，其中一个方程是一个未知数）

（1）  （2）  （3）  （4）

探究4、形成二元一次方程组的解的概念

引例：通过上面讨论我们知道：二元一次方程 无法确定老师和同学的年龄，如果再告诉你们老师的年龄是同学的2倍呢？

学生活动：请两组同学一组同学写出 的解，另一组同学写出另一个方程的解(什么方程y=2x)，然后相互交流。

教师板书：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

概念辨析：

二元一次方程组 的解是      

 （1）    （2）    （3）    （4）  

下面4组数值中，哪一组是二元一次方程组 的解？

 （1）    （2）    （3）    （4）  

环节三、总结归纳

本节课研究了哪些内容？我们是如何学习本节课知识的？你觉得本节课后，我们将学习什么内容？

环节四、拓展思考

1、              若方程 是二元一次方程，则   ，   。

2、              是二元一次方程 的一组解，则    。

课堂练习：

3、              下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ）

A.    B.    C.    D.  

4、       已知 是方程组  的解，求 的值？

5、       根据题意列方程组：

（1）某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？

（2）将一摞笔记本分给若干同学。每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本。共有多少本笔记本、多少个同学？

经过了再次修改，这堂课变得更加自然和谐，让人感觉这堂课有必要上，并且更有必要继续上下去，主要是在提问的技巧上和前后的环节的串词上狠下功夫：

（1）、“环节一、设置情境，提出问题

教师引言：同学们，我们做一个很简单的游戏，***同学，你告诉大家：你的年龄是（  ）岁？如果我告诉我们年龄和是42岁，你知道我的年龄吗？

问题1.你用的是什么方法？

2.如果用方程你能表达我们年龄之间的关系吗？

3.列出方程只需做一件什么事，我们就可得到我的年龄？

问题2：现在我直接告诉全班同学，某一同学和我年龄加起来是42岁，你们能类比刚才所用方法，用方程表示我和这位同学间的年龄关系吗？

提出问题：显然仅仅一个一元一次方程是不完全能表达生活中量的，今天我们将学习“二元一次方程”  教师板书：“二元一次方程””

（2）、“学生活动：

引例：同学们能用生活中实例说明x+y=42具体生活意义吗？下面的实际问题的数量关系也会表达吗？

2.    多举几个实际问题让学生列方程（举例是哪些？）

。。。。。。。。。。。。。。。

2.观察：这几个方程有什么特征？

3.归纳

学生说：”

（3）、“思考：回到刚才我们用 表达的我和某同学年龄间关系，用该方程你们能说出我和这名同学的年龄吗？对于 ，你能找出满足该式中的x和y的值吗？这些解你是如何算出来的？”

（4）、“问题思考：我们无法用一个二元一次方程 来确定老师和同学的年龄，你们知道是什么原因吗？我们继续研究下面的问题：”

（5）、“引例：通过上面讨论我们知道：二元一次方程 无法确定老师和同学的年龄，如果再告诉你们老师的年龄是同学的2倍呢？

学生活动：请两组同学一组同学写出 的解，另一组同学写出另一个方程的解(什么方程y=2x)，然后相互交流。”

在第二次修改的基础上，又进行了第三次授课，然后再次略加修改，加入了自己的照片及生活中还有哪些例子含有类似这样的方程？这样自然和谐的引入方式，让戢老师的课更增添新机，一堂概念课上出了不一样的味道，体现一堂好课的标准：自然、和谐、精到，耐人寻味，让人难忘！