《函数》概念课案例分析

《函数》概念课教学案例

摘要：函数概念对于八年级学生来说是很抽象的，尽管他们在七年级对变量间的关系有很好的认知基础，而且在代数式，方程学习里渗透过变化的思想，但要真正领悟数量关系之间依存和变化的实质，还是很难的。教学该如何突破这一难点？概念教学的核心任务是概念形成和理解，如何设计教学任务促进学生思考，如何设计具体活动围绕教学核心内容，达到思维层层深入？想做到这些，必须从三个维度来展开：理解数学，理解学生，理解教学。

关键词：理解教学、思维发展  

一、课前准备的三个维度

（一）理解数学

函数概念课，首先要理解函数的本质是什么，了解函数概念的衍变过程（初中，高中，大学课程都在定义函数概念），理解函数的表征方式（比如关系式，表格，图像等）

，理解函数在教材中的结构和联系，理解函数蕴含的数学思想方法以及了解函数的文化背景等等。基于这一系列的数学理解，确定核心教学问题。本节课的核心教学问题是理解“函数”概念——在两个变量之间建立一种对应法则，从而建立函数模型，用函数的眼光去审视实际问题中的变量之间的关系. 函数的本质是在两个变量之间建立一种对应法则，其中一个变量x值的确定会引起另一个变量y值的唯一确定，那么变量y是变量x的函数.其中变量x和y的关系是相对的，可以辨证地看待.函数的学习需要重组思维结构，调整思维模式，提升思维能力.由此，不难确定本节课的两个难点：一是如何让学生发现和认识两个变量之间的对应关系；二是何如辨证地看待函数关系。

（二）理解学函数的学生

我一开始设计了几个高速路上的连续的问题情境，意图呈现三种不同的函数表达形式，多角度带领学生认识函数可能的形式，过程中给出一个自变量的值，让学生计算另一个变量的值，并询问，对于任意的变量值，另一个变量值确定吗？有些学生能凭主观判断确定，有些学生也跟着回答“确定”，当我追问“你如何理解的确定”，多数学生不能回答。瞬间，我发现，理解学生的理解力，我做的准备不够。理解学生应该关注三个方面：

1.关注学生的知识基础：从小学到七年级，学生对变量之间关系的认识还停留一种变化趋势的关系上，他们更关注变量间值的变化规律上，没有从一种对应关系的宏观角度去认识事物的经验，所以教学中要尽可能从身边的例子出发去突破这个难点.

2.关注学生现有的认知水平 ：初中生的思维水平还停留在具体形式逻辑思维范畴，辨证思维较弱，抽象思维能力还不成熟，对问题的认识还停留于表层，不能深入研究、挖掘其隐含的数学思想方法等，只是静止的、局部、割裂地认识新学的事物.

3.明确学生的发展方向：通过本节课，让学生体会研究数学问题的数学思想方法， 利用数学知识和方法解决具体问题，提升学生的思维品质.

（三）理解《函数》教学

如何教学帮助学生理解函数的概念？一开始，为了达到这个目标，笔者按照传统教法将每个情景讲得很清楚，归纳出函数概念，剖析重难点，再举一些实例加以说明引导，接着辨析概念，运用概念。整个课堂，满满当当，“教”得不错，学生“学”得也很好。课后反思，我发现是我把自己理解的函数概念，转教给了学生，让学生按照我给出的某种方式去理解它而已，我只是教给了学生一个叫“函数”的概念，并没有让他们体会函数真正的意义。显然，这不是真正理解了教学和理解了学生。

  那么，该如何理解教学？完全用“教”的方式显然没有真正促进学生的思维提升，如果试着创造一些贴近学生的生活经验，让学生自己领悟“函数”呢？函数的思维方式是学生的难点，可以通过设计问题，引导学生的思考方向。

二、《函数》教学实施案例

接下来以“函数概念的形成过程”任务为例，详细分析任务实施和思维进阶的路径。

师：高速路上，车流滚滚。当你坐在爸爸的车里，期盼早点能到达目的地，请问此时，你关注的是行驶中的哪个量？

生：路程，速度，时间等。

师：当行驶速度固定，路程与什么有关？

情景1：在高速路上匀速行驶，行驶速度是60千米/小时。

 时间（t）

 1

 2

 3

 ···

 路程（s）

 60

汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，你知道1小时行多少千米，2小时，3小时……（表格呈现）在这个变化中，有几个变量？

生：两个变量，时间和路程。

师：时间能确定路程吗？

生：能。

师：你是怎样理解“时间能确定路程”？

生：想要知道路程，用速度60×行驶时间=路程。

师：每一个时间，你都能找到相应的路程，比如，行驶三小时对应的路程就是60×3=180。从表格中能看出来吗？

生：能，时间的每一栏都有一个路程对应。

师：对应来看，每一个时间，都对应有一个路程，这就是“确定”。一个量是否确定另一个变量，即是看当这个变量取某一个值，是否能相应找到另外那个变量的值，能找到确定的一个，那就是“确定”的含义。

情景一中，用对应的方法，我们知道了当速度一定时，变量时间确定路程这个变量。行驶在回家路上，归心似箭，有同学是不是更关注“时间”？

情景2：高速路程是270公里。

（1）时间与速度的关系是什么？

（2）速度能确定时间吗？唯一吗？

师：与情景一不同，这里是固定了路程。那你关注的时间和哪个量有关系，具体是什么关系，能列出来吗？

生：t=270/v。

师：这个关系中有几个变量？

生：两个，速度和时间。

师：速度这个变量能确定时间变量吗？

生：能。时间和速度是一一对应的（追问，你怎么得到的？）你举一些例子，比如速度是10，那时间就能算出来为27，再举一些，也可以算。师：高速路上最低速是60。回答得不错，带领我们通过列举的形式，当取定一个速度值，就能找到相应的时间，与我们前面表格的对应的方法是类似的。可是举出的速度是不是太特殊了？

生：看关系式：t=270/v。每一个v，都能算出一个对应的时间（也就是一个v值对应的时间是唯一的？）是的。师：既然每个速度值，都能找到对应的时间，并且，只能找到一个，那就说明，关系式中，速度能确定时间这个变量。

师：高速路上开车的人，一定还会关注什么量？（出示油表盘）

生：油量

师：确实，随时关注余油量多与少，我们看看，余油量与哪些量有关？

情景3：现在总共油量是48升，每100公里平均耗油10升。

师：现在油量还有48升，已知汽车每100公里耗油10升。看看老师呈现的给大家的图象，是关于哪两个变量的关系？

生：余油量和行驶路程。

师：猜猜老师会问关于这两个变量的什么问题？（学生依稀回答）你们会读心术？50公里，剩余油量？100公里呢？你是怎么看的？

生：算出来：48-5，48-10

生：图象看出来，展示读图。

师：都很棒，既能准确计算，也能从图象上直观找到。那每个行驶路程，都能确定相应的余油量吗？

生：可以。（如何找？教我们一下）比如，行驶路程200，作垂线上去，可以找到图象上对应的点，再过点，水平画线过去，找到对应的余油量是28。（你们有质疑或补充吗？）

生：取一些一般的行驶路程，比如点，这个点可以任意，每个点都可以找到相应图上的点和对应的余油量。师：太棒了，任意，说明每一个路程值，都能找到一个，确定只有一个相应的余油量的值。所以，可以说行驶路程能确定余油量，对吧。刚才的三个情景，都在呈现一种如何用一个量，去确定另一个量的方法。具体的做法，你还能描述吗？

生：先取一个值，看另一个值能不能确定。

生补充：另一个值是唯一的才叫做确定。

师：补充很恰当，如果，对应的另一个值有不只一个，那到底是哪一个呢，是不是会有分歧。

师：这三个情景也在意图给大家介绍一个新的概念—函数。比如，时间能确定路程，给定一个时间，那就确定唯一一个路程，就称路程是时间的函数。那什么是函数呢？你能通过三个情景中，变量间的共同特点，来描述一下函数吗？先独立思考，再将想法在小组内交流一下。

生：两个变量，一个变量随另一个变量的变化而变化，那这两个变量就是函数关系。

师：只能说明这两个变量有关联，一个变量会影响另一个变量。

生：两个变量要满足一个变量与另一个变量一一对应才是函数。

师：理解很深刻，必须是“对应”。能描述一下对应的方法吗？

生：一个时间，就对应有一个路程。（可以是一般化情形描述吗？）一个变量值，就对应有另一个变量的值确定。这两个变量就是函数。

师：一个变量值，就对应有另一个变量的值“确定”，即存在有，且唯一。板书：一个变量的值→对应有唯一一个变量的值（X→Y），称Y是X的函数。其中，x是自变量，y是因变量。比如情景三中，一个行驶路程的值，对应有唯一一个余油量的值，称余油量是行驶路程的函数。自变量是行驶路程，因变量是余油量。

生：理解

师：因变量主要是你关注的变量，自变量是直接影响你关注的变量的那个变量。当然，两个变量的位置可以是相对的，比如，你更关注自变量那个量，那它也可以视为因变量等。

三、教学反思

这个教学片段呈现了概念课中“引入课题”和“提出问题”两个环节，很有深意。比如开篇“世间万物，总是处在各种联系之中，不要孤立的认识事物”这句话是世界事物关系的真实写照，以此作为引入，也点明了本节主题是讲量与量“联系”，同时也启发学生应该拥有怎样的世界观。接着从生活中常常说人与人之间存在某种关系，借助这一话题引入数学中某些变量之间也存在某种关系，导入《函数》课题

。另外，提出问题环节中，生活中的变量太多，如何关联到具体变量，必然需要给出问题情景。于是，老师立足于学生已有的认知水平，给出了学生熟知的高速路背景，让学生选择自己关注的变量，去研究它与引起它变化的变量之间的关系，从而自然过渡到变量与变量之间的关系问题。这样的教学设计，选材贴近学生的实际生活，学生易于理解，达到共鸣，问题设置也注重学生的思维螺旋上升，用数学的方法在认识现象，解决数学的问题，切实在“做数学” 。最后概念的形成过程也很巧妙，用“表格”让学生体会“对应”的数学方法，帮助学生理解运用“关系式”对函数关系的确定与表达，通过“图像”直观理解函数关系的确定。从具体到抽象，再回到直观，运用数学思维方式培养学生思维能力。有一种教，是老师将自己获得的知识教给学生，学生照样子做；而另一种教，是通过老师设计的数学活动，学生自己发现规律，自主获得数学的过程。而这个“教”的过程，我们一直都在探索的路上。

参考文献

为思维而教/郅庭瑾著.—2版.—北京：教育科学出版社，2007