浅析初中数学专题教学中渗透数学思想方法

浅析初中数学专题教学中渗透数学思想方法

                －以二次根式的双重非负性为例

［摘 要］ 数学思想是数学的灵魂，数学方法是解决数学问题的关键。虽然数学思维的重要性已经深深印入我们的脑海，但是数学思维的如何发展和提升，一直是一线教师迷茫之处。为了更好地展示教师为数学思维而教，用数学眼光启迪学生智慧。本文以二次根式的双重非负性为例浅析如何在专题复习课中渗透数学思想方法——转化思想。

［关键词］初中数学；专题教学；数学思想；转化  

一、数学思想方法教学的简述

（一）数学思想和方法的作用

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《课标（2011 年版）》）对初中数学教学做出了明确规定：教师的任务是帮助学生掌握知识，在掌握知识的过程中锻炼学生的数学思维方式，提高学生对数学学习的热情，调动学生自主自觉学习数学的积极性。[1]也就是说数学教师不能只注重知识的讲解，应该重视学生是否在理解知识的基础上掌握了解题方法，培养了数学思维能力。

（二）数学思想方法的内涵与外延

“数学思想方法”这个概念最初产生于上个世纪90年代，定义、性质、公式等这些数学基本概念及其中所蕴含的数学思想方法，都是数学研究的构成部分。钱佩玲教授在《中学数学思想方法》中指出：所谓数学思想是建立数学和用数学解决问题的指导思想，例如：化归思想、分类思想、模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想、数形结合思想等。[2]

“方法”这个概念最初产生于希腊，是指为达到某个目标而采取的手段。沈文选撰写了《中学数学思想方法》一书，他认为，数学方法在数学研究的工具。它是一个元概念，它和点、线、面、集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。[3]

数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它的内容不是一成不变的。它们之间有着必然的联系，数学思想主要针对解决问题的策略和指导方针；数学方法主要针对实际问题的探讨。因此，在中学的教学活动中，通常将数学思想、数学方法、数学思想方法不加以区分，通常称为数学思想方法。

（三）当前数学思想方法教学中的问题

当前数学思想方法教学过程的主要问题有：教学目标设计不合理；学生在具体的教学过程参与度不高；教师对处理教材例题处理不恰当等等。

教学目标的设置缺乏科学性．教师主要按照大纲安排课程教学活动，教学活动变得功利性，学生对数学知识的理解停留于表面，不能理解其中的内涵，不利于培养和提升学生的数学思维能力。

教学过程缺乏学生参与。部分老师的教学是以教师为中心，数学思想方法也只是数学教师的思想方法，而不是学生的数学思想方法。

国家、地方的教材编写组因考虑不同地区的差异，编写教材时中的某些内容可能对于本地区的实际情况不相符合。针对这种情况，部分老师对教材随意处理，随意加大例题难度，容易导致学生厌学情绪的产生，打击学生的自信心。

因此，初中数学思想方法教学策略值得我们一线教师认真思考并运用于实践加以解决。

（四）如何在初中数学教学中渗透数学思想方法

1.展开初中数学教材中的数学思想和方法的研究

初中数学思想方法分布在整个初中数学教材中，它们是知识的本质内容。教师需要在教学前对初中三年的所有教材进行系统分析，只有熟悉教材了编排、理清教材脉络，才能合理地安排设计自己的教学计划，并在传授数学知识的过程中提炼、渗透数学思想方法。

2.在教学计划、内容中恰当地融入数学思想方法

教师不管是在制订教学计划还是在设计教学内容时，都应充分体现数学思想方法的渗透。在设计教学时，无论从创设情境，提出问题、自主发现分析问题、互动探究解决问题、拓展提升发散问题，都需要精心安排设计，最终才能达到有意识的、有的放矢地在教学过程渗透数学思想方法。

3.在课堂教学中渗透数学思想方法

在初中数学教学过程中，教师要注视数学概念的内涵和外延，阐明数学知识的来源。因为数学知识的形成过程中也就是数学思想方法的生成过程。教学中尝试放手给学生，让学生尝试自己推导，何尝不是锻炼数学思维的好方法。

4.在例题教学中综合应用数学思想和方法

在数学课上如何培养数学方法和数学思想，教科书上编排的数学知识虽然直观、简易、浅显，但这些数学知识中，蕴含着许多与高等数学相通的数学思想和方法。数学学习的好与坏，不在于学会了多少数学知识，做了多少习题，最重要的是通过学习数学知识、典例剖析获得其中蕴含的数学思想和方法。因为题海战术最终并不能锻炼学生的数学思维。

虽然数学思维的重要性已经深深印入我们的脑海，但是数学思维的如何发展和提升，一直是一线教师迷茫之处。因此，为了更好地展示教师为数学思维而教，用数学眼光启迪学生智慧。今天我们就以二次根式的双重非负性为例谈一谈如何在专题复习课中渗透数学思想方法——转化思想。

二、二次根式双重非负性的课例简述

（一）结合学情，提出问题

结合学生的实际情况，部分学生对于二次根式双重非负性只能了解，还不能完全掌握并加以运用，鉴于双重非负性的重要性，设计了这堂专题复习课。

课前准备：学生利用周末时间做了关于非负性方面的学习小报，收集相关非负性题目，例如：

1.关于绝对值、平方、偶次方、二次根式计算

例如：如图实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，

化简：

（设计意图：学生从中体会到利用数形结合的妙处－能轻松观察数字、式子的正负，进而准确进行化简）

2.0+0型

问题1：若实数x、z满足，且实数y的立方根是2，

①分别求x、y、z的值；

②若x、y、z是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状。

问题2：

学生收集了很多二次根式相关的题目，但是绝大多数的学生收集的与0+0型相类似的一些题目。

因此，本节课迫切需要解决问题即：可否将其它不同类型的题目转化，利用0+0型的思维方式来解决？

[设计意图]

此环节主要是结合学生的实际情况，针对学生提出的问题加以解决，主要在于解决本班学生在二次根式双重非负性学习中的困惑，并在此基础上设计提升本班学生思维品质的相关练习

数学任务一：

师：请回顾所学的知识里面，哪些是非负性相关的知识点？

生：①二次根式非负、二次根式被开方数非负；

②平方、偶次方非负；

③绝对值非负

师：前面学习的非负性通常以什么形式出现来考察呢？

例：，考察的原理是什么？

生：利用非负+非负=0，

得:

得：

师：总结，解含有多个未知数的方程时，可以利用非负性将其转化成多个方程，进而求解多个未知数。

但是，二次根式具有双重非负性，在具体的应用中，都是运用非负性“一转多”吗？还有其它的方法吗？

（二）问题探究，方法提炼

数学任务二：

例1：若实数x、z满足，且实数y的立方根是2，①.分别求x、y、z的值；

②若x、y、z是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状。

小结：（生：利用二次根式和平方的非负性将一个方程转化为两个方程，解两个未知数。）

数学任务三：

例2：若，

求：的算术平方根与的立方根。

师：这个例子跟上面相比，有什么不一样的地方呢？

生：①被开方数互为相反数

   ②没有等于0

师：那可以从哪里入手呢？

生：由被开方数0

   得：

   得：

   得：x=1

师：也就是说，此题是利用被开方数非负，建立了一个不等式组，利用夹逼法求出了未知数的值。

通过以上两个例题，学生总结：在什么情况下使用二次根式非负性，在什么情况下使用被开方数非负，同时将两者进行对比和比较。

[设计意图]

1.此处学生利用已学过的知识为即将学习的知识奠定基础。数学素养指向了符号意识、推理能力的结合，渗透了数学创新意识。

2.引导学生对数学思想的总结:转化思想、类比思想、归纳思想。

（三）方法应用，渗透思想

数学任务四：

请利用上面学会的能力尝试下列例题。

例题展示：已知x,y为实数，且满足

解决方法：以小组为单位，先独立思考再讨论并发现本题的特点。试着从以下两方面启发并引导学生思考：

①y-1 与 1-y互为相反数

②方程右边=0

数学活动：小组讨论，发现本题的特点，思维品质指向深刻性和创造性，渗透数学思想：类比思想。

小结：你是怎么解决这个问题的呢？

生：既然它是等于0的，那么可以尝试把它变成

   非负+非负=0型

生：利用

     得：  

     得：

     得：

                 

     得： ，从而可以转化成两个方程，解出x、y

师：同学们思维灵活，但这里有一个难点，即 ，

如果不变，又将如何解决呢？它本身是不是非负+非负=0……（引发学生思考）

[设计意图]

这是本课的难点，引导学生从已有的知识上来作思考，此处要让学生充分思考并讨论，体会数学类比的思想，体会数学归纳的过程。然后总结特点，进行解答。

练习：已知实数满足

（四）总结提升，形成观念

归纳总结：

①这节课你有什么收获？

②还有什么疑惑？

数学任务五：

已知有理数x,y,z满足，

设计意图：

这是本课的升华，归纳特点，学以致用，是否能发展推理能力和创新意识，培养思维的灵活性。

小结：在教学中渗透数学思想，教会学生在恰当的时机用恰当的方法来解题是一个任重而道远的目标，需要长期的积累和沉淀，教师在教学过程中应有意识的引导，并让学生感悟，怎样学习才能更有效。

本节课选择一些典型且极具启发性的例题激发学生数学思维能力，并归纳总结解题方法策略，进而提炼数学思想。并在数学思想的指导下，举一反三，触类旁通，以数学知识和方法作为工具和手段，灵活应用，从而达到分析问题、解决问题的目的。数学思想方法源于现实原型又高于现实原型，是解决具体数学问题时的一种整体性思维。因此专题设计应该具有探索性，在对例题的分析过程中提炼出具有代表性数学思想和数学方法。启发学生运用多种方法解决问题，学会将复杂问题化繁为简，并且从多因素多角度去思考问题，从而培养学生思维的变通性、广阔性、灵活性和全面性[4]。

总之，如何在初中数学专题教学中渗透数学思想方法，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索……

参考文献：

[1] 义务教育数学课程标准[M].人民教育出版社，2007.

[2] 钱佩玲主编．中学数学思想方法[M]．北京：北京师范大学出版社，2001：351-352．

[3] 沈文选．中学数学思想方法[M]．长沙：湖南师范大学出版社，1999：255．

[4]   中学数学新课程教学策略[M].甘肃教育出版社，2006，（12）.