《函数》概念课

 4.1函数

   八年级数学备课组 朱春烨

 教材分析：

 本节内容选自北师大八年级数学上册第四章一次函数第一节《函数》，属于认识函数概念课。函数是研究现实世界变化规律的重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容。而本章的一次函数，是初中阶段最简单的函数，本节也是学生第一次正式接触学习函数。

   学情分析：

 七年级上《整式及其加减》，学生体会字母表示数，列代数式，已经渗透了初步的函数思想，此外，通过列表，数值转换机等形式体会变量之间的对应关系。七年级下《变量之间的关系》，学生体会变量之间相依关系的普遍性，也接触了表格，关系式，图象等方式，多方面感知变量间关系。本节继续通过变量间关系的考察，体会函数概念，明确变量间这种关系就是函数关系。

   教学目标分析：

   1、初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数关系。

   2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。

   3、经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进一步发展学生的抽象思维能力，会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。

   4、体会函数模型思想，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。

   教学重点：

          1、 函数概念的形成，理解函数概念。

          2、 判断两个变量之间的关系是否可看作函数关系。

   教学难点：抽象出函数的概念，理解概念。

   健全人格的渗透和核心素养的培养

   1.世界观：世间万物，总是处在各种联系中，不要孤立认识任何一件事物

   2.存在与规律：通过将实际问题转化为函数问题，体会量之间的相依关系。

   3.促进人际交往：通过学生小组合作、探索、交流、解决问题，学会倾听，学会分享，学会包容， 学会理解，学会团队合作。

   教法、学法设计：自主 合作

 探究

   教师准备：多媒体课件、学案.

   教学过程：

 教  学

 过  程  设 计

 教学

   环节

   

 活动内容

 学生

   活动

   

 教师活动

 设计意图

 （一）问题情景，提出问题

 一张关系图：

    世间万物，总是处在各种联系中，

   不要孤立认识任何一件事物•••比如你与哪些人有关系？和朱老师有师生关系，你确定吗？七年级我们学习了变量间的关系•••

   提出课题：

   今天我们要学习的是变量间的函数关系。

   

 观赏图片，思考与哪些人有关系，并带着认同或疑惑进入新课学习。

 播放图片，提出问题，并引导学生回顾7年级变量间关系，为新课做铺垫。

 〖设计意图〗：通过一张关系网络图，让学生体会到事物之间有各种联系，不要孤立认识一个事物，也铺垫了本节新知主要讲的就是关系。通过自身与周围的人有关系，为变量间关系是否能被确定埋下伏笔，由此，提出本节课的学习问题.】

 

 

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

 

 

 

 

 

   

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   （二）模型感知，形成概念

 

 

 

 （一）提出问题

   高速路车流滚滚，你坐在车里，盼望着早点到达，请问此时，你关注什么量？

   路程与哪些量有关？

   

 思考并回答老师提出的问题

 老师进行引导

 【设计意图：让学生从现实生活中找到变量和自己关注的量，思考变量间的关系有哪些】

 情景一：行驶速度是60千米/小时

   

   

   

   提问：表格中剩余路程和谁有关？

   行驶时间能确定剩余路程吗？（引导：如何理解确定，你知道了时间，就知道了路程，怎么看？）

   利用“对应”的方法来确定路程：

   明确一个时间，对应唯一一个路程

   

 学生积极参与，细心观察，回答问题

 提出问题，组织学生回答问题，引导学生思考

 【设计意图：学会用对应的方法去看待两个变量之间的确定关系，呈现表格形式】

 情景二：高速路程是270公里。

   提问：时间与哪个量有关？关系是什么？

   行驶速度能确定时间吗？（引导：你会用什么方法？如果学生提出取定速度值，来计算时间，那呈现列表；也可以分析关系式）

   利用“对应”的方法来确定时间：

   明确一个速度，对应唯一一个时间

   教师应关注：（1）学生会不会用对应的方法来看两个变量间的关系；

              （2）如果会对应，那被确定的变量是不是唯一确定的？

   学生动手计算，分析自己得出结论。

   

 先独立思考，回答问题

 教师结合课件讲解关系式如何看对应

 【设计意图：呈现关系式形式，让学生利用对应的方法来验证速度是否确定时间】

 情景三：现在总共油量是48升，每100公里平均耗油10升。

   提问：图表显示剩余油量与哪个量有关？

   行驶路程能确定剩余油量吗？（引导：你会用什么方法？如何看一个行驶路程，对应一个剩余油量）

   利用“对应”的方法来确定剩余油量：

   明确一个行驶路程，对应唯一一个剩余油量

   

 积极思考，用前面学到的解决问题的方法解决这个问题.

 对学生的不同的发现给予肯定与点评.

 【设计意图：呈现图象形式，让学生利用对应的方法来验证行驶路程是否确定剩余油量】

 （二）形成概念

 结合以上三个情景，都是用对应的方法研究了两个变量间的关系，情景一：时间确定了路程，我们称路程是时间的函数；情景二：速度确定了时间，称时间是速度的函数。

   提问：那什么是函数呢？变量之间有什么样特殊的联系？

   函数：

 如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数(function)。其中x是自变量,y是因变量。

   教师注意：（1）学生归纳形成概念，学生之间可以相互补充和提出不同意见，教师适当肯定

   （2）先抓住函数的本质，再呈现函数的概念

 （3）理解概念时，适当的强调函数实质就是两个变量之间的关系，且是确定的关系，如何确定，我们是用“对应”的方法，即：取一个自变量的值，看因变量是否对应存在有，并且是否唯一。

   

   提问：函数可以以哪些形式呈现出来？

   函数的表示方法：列表法，图像法，关系式法

   不同形式，实质都可以利用对应这种方法去判断是不是一个函数。

 分析三个问题变量间的共同特征。

 倾听学生，讲解说明注意事项。

 【设计意图：抽象归纳函数的概念是很难的，所以结合三个情景，先回忆了对应的方法来研究的两个变量间的关系，并告知实际这种关系就是函数，让学生有了思考方向，再深度挖掘变量间的共性，从而形成函数概念。学生回答不全，可以适当引导和补充】

 理解函数概念，并抓住核心

 引导学生总结，作出修正.抓住函数概念的本质。

 （三）应用辨析，巩固概念

 例1：汽车在加油站加油，加油器仪表显示：（播放视频）

   提问：哪两个变量间关系？单价始终不变，叫常量。你比较关注哪个量？那金额是油量的函数吗？

   你判断是否是函数的方法是什么？

   小结：每一个油量值，对应唯一一个金额数。

 油箱有一定容积，加油油量小于等于容积。所以函数的自变量有一定的取值限制，要根据实际情况。另外，当我加油25.15升时，显示金额是183.59，称自变量取25.15时，对应的函数值为183.59.

   提问：自变量=30时，函数值=？

   

 学生观察视频中的变量，思考回答问题

 引导学生理解概念，及再次明确研究的方法，以便帮助学生理解函数

 【设计意图：应用辨析，看学生能否判断是不是函数关系，明确方法是什么】

   【设计意图：介绍自变量取值范围要考虑实际情况。当自变量取多少，函数值概念。】

 （四）深化概念，拓展延伸

 

 

 

 

   

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   提问：你坐在匀速旋转的摩天轮上，你关注什么量变化？

       （1）摩天轮上某一点的高度变化，是时间的函数吗？

       （学生凭想象理解回答问题。）

       是不是想象不好说清楚，那我们把高度变化过程利用图像表示出来。

       （2）从图像上，你能说明高度是时间的函数吗？

       

       

       

       

       

       

       每一个时间，都对应一个高度，比如0分，对应高度3.  

       

       

       

       学生回答其他高度。

       朱老师比较恐高，所以我坐在摩天轮上，关注的量是时间。请问，旋转过程中，随着时间推移变化，某一点高度也在变化，

       时间是高度的函数吗？

       2.在什么情况下时间又是高度的函数呢，你能分析吗？

       让学生课后分析，这关系到自变量取值不同，函数是否成立。

 

 

 

 学生倾听，理解，计算

 播放视频，提出问题

 【设计意图：利用想象，具体观察图像，借助表格，分别来说明函数关系，即是对前面函数表示方法的复习，也是思维提升。提出时间是否是高度的函数这个问题，进一步对函数概念本质的考察，看看雪山有没有把握函数。可能有学生会混淆，但是当学生讨论，质疑，解答疑惑过后，我相信，能进一步理解函数的本质。】

 （五）方法应用，综合实践

 

 

 

   

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       例2：我们学校的午（晚）餐收费标准：

       （假如规定每个学生只能选择一种套餐类型）

       

       

       

       

       

       （1） 餐费与所选套餐份数之间有函数关系吗？

       （2） 假如妈妈给你200元，你会如何使用？

       在使用过程中，你关注哪个量的变化？  与谁有关？有函数关系吗？

       学生代表发言，小组补充，提问，质疑，解答。

       

       

 

 

 

 学生思考，小组合作，分析问题，体会函数思想

 提出问题，参与到小组讨论中，倾听

 【设计意图：食堂背景的问题，也是很贴近学生生活的问题，完全丢给学生来说和做，关注什么量，涉及什么变量，是否有函数关系。小组讨论，自己提问，质疑，解答。在辨析过程中，对函数理解是有帮助的。】

 （六）课堂小结，归纳整理

 通过本节课，

   相信你对函数有了深刻的认识，谈谈你的学习感受吧！

   可以从思想，方法，知识等角度畅谈看法。

   

   

   回到开篇，突出不要孤立认识事物：

   世间万物，总是处在各种联系中，

   不要孤立认识任何一件事物•••

   

   启发学生：

   用函数的眼光观察世界，用数学的方法发现世界

 畅谈自己的感受，交流自己的所得，使知识进一步得到整合

 教师倾听，及时鼓励启发学生用函数的眼光观察世界，用数学的方法发现世界，也是对学生健全人格的教育点播。

 【设计意图：课堂小结：及时鼓励启发学生用函数的眼光观察世界，用数学的方法发现世界，也是对学生健全人格的教育点播。。】