几何模型

第三节    几何概型

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果           ；

(2)等可能性：每个试验结果的发生具有          。  

3．几何概型的概率公式

P(A)＝——————————————.

[提醒]　求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．

一、[小题体验]

1．(教材习题改编)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是(　　)

A．5(3)　　　　　　　　　 B．5(4)

C．5(2)   D．5(1)

2．(教材习题改编)平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这平面上，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是________．

3．(2016·陕西质检)在区间[20,80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50,75]内的概率为________．

注意：

易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．

[小题纠偏]

1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于8(1)米的概率为(　　)

A．4(3)   B．3(1)

C．2(1)   D．3(2)

2．在等腰直角三角形ABC中，D为斜边AB上任意一点，则AD的长小于AC的长的概率为(　　)

A．2(1) B．1－2(2)

C．2(2)   D．

二、典型例题：

1．(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log2(1)≤1”发生的概率为(　　)

A．4(3)　　　　　　　　　 B．3(2)

C．3(1)   D．4(1)

2．(2016·衡水一模)在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为(　　)

A．6(1)   B．3(1)

C．3(2)   D．5(4)

3．(易错题)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．

[谨记通法]

1．与长度有关的几何概型

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．

2．与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．

1、(2016·济南一模)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A­A1BD内的概率为________．

[由题悟法]

与体积有关的几何概型求法的关键点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

[即时应用]

(2016·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

1．(2015·新余模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为(　　)

A．π(4)－1　　　　　　　　 B．π(1)

C．1－π(1)   D．π(2)

变式训练：(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________．

2．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤2(1)”的概率，p2为事件“xy≤2(1)”的概率，则(　　)

A．p1＜p2＜2(1) B．p2＜2(1)＜p1

C．2(1)＜p2＜p1 D．p1＜2(1)＜p2

变式训练：(2016·枣庄八中模拟)在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a和b，则方程a2(x2)－b2(y2)＝1(a

A．2(1)   B．32(15)

C．32(17)   D．32(31)

[方法归纳]

求解与面积有关的几何概型的关键点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．

课后作业：三维设计练习册跟踪训练（57）