李瑶优秀案例

课堂实录《反比例函数的意义》

师：上课！

生：老师好！

师：同学们好！

生：坐下！

师：电脑屏幕播放全国铁路第六次大提速的报道（点击屏幕）

师：刚刚给大家看的是07年4月份我们国家发生的一件大事！大家知道是一件什么事情吗？

生：铁路提速！

师：对！07年4月份零时我国第六次铁路大提速开始。这一次提速的开始标志着我国的铁路运输开始迈入高速时代！这是一件大事，也是一件让老百姓高兴的事，从此出行将变得更加方便快捷。而连接北京和上海的京沪铁路线也是这次铁路提速的几大干线铁路之一。

师：京沪铁路线全长1463km，某次列车在几次提速后行驶的速度v，时间t如下表（点击屏幕）

 

生：（学生观看表格）

师：表格中所给的路程、速度、时间中哪几个是常量？

生：路程1463km

师：哪几个量是变量呢？

生：速度v，时间t

师：当速度v取定一个值时，时间t有几个值与它对应？

生：一个。

师：当速度v增大时，时间t在如何变化？

生：减小

师：它们的乘积变不变？

生：不变！

师：也就是说时间t随着速度v的变化而变化，但乘积不变，且当速度v取定一个值时，时间t有唯一的值与它对应，那这说明时间t是速度v的函数？（或着问：时间t与速度v之间是一种什么关系？）

生：函数关系。

师：那么你能用一个式子来表示这种函数关系吗？

生：t=或v=或vt=1463

师：大家都说得很好。而在生活中两个变量之间存在这样的函数关系的例子还有很多，如：（点击屏幕）下面的问题：

师：还是请大家写出这些问题中两个变量之间的函数关系式。

生：①y=或yx=1000

    ②s=或sh=1.68

师：很好！上述三个函数关系式有什么共同点吗？

生：都是y=的形式.

师：能不能给这种函数取一个名字呢？

生：反比例函数

师：为什么给它取这个名字。

生：类似于小学的反比例，y与x的积不变。学生可能说x增大y减小（老师引导得出）

师：这样我们就把形如y=（k是常数且k≠0）的函数称为反比例函数，这就是我们今天要来一起学习的反比例函数的意义（板书标题，点击屏幕），其中x是变量，y是函数。自变量x的取值范围是什么？

生：不等于0的一切实数。

师：为什么？

生：因为分母x为0，则分式无意义。

师：很好！我们在前面还学过哪些函数？

生：正比例函数，一次函数。

师：它们的函数关系式分别是怎样的？

生：正比例函数y=kx   (k是常数，k≠0)

    一次函数y=kx+b   (k，b是常数，k≠0)(板书)

师：再加上我们今天学的反比例函数y=（板书），一共有三类函数！

 

师：这些函数从函数关系式的形式上看有什么共同点和不同点吗？

生：左边都是y，右边有的是整式（正比例函数，一次函数），有的是分式（反比例函数），而且都有一个字母k

师：三个式子中k的值一定相同吗？

生：不一定

师：很好

师：如果我给大家一些函数，大家能判断它是上述三类函数中的哪一类吗

 

生：能！

师：点击屏幕依次出现一下几个函数：

1.（1）   （2）    （3）yx=－1   （4）y=3x＋1  （5）

师：刚才大家回答得很好！那么下面这又是一个什么函数？（点击屏幕）请大家填空：

当m=___时是反比例函数。当m=____时是正比例函数。

2.填空：

 

生：学生做题

师：请这位同学填一填

生：当m=－1 时是反比例函数。当m= 时是正比例函数

师：你能解释一下你的m的值怎么求出来的吗？

点评： 注意函数关系式中的k≠0

生：学生解释：

师：他说得对不对！

生：对！

师：说得太好了！来点鼓励！

师：中说明当m取不同的值的时候，会得到不同的函数。

师：那么我们在做这个题时特别要注意些什么？这位同学，请你说一说

生：要注意k≠0，

师：很好。要注意函数关系式中的k≠0（点击屏幕）

 

师：刚才是老师给大家一些函数，大家很准确的判断了它是哪一类函数，如果我再给大家一些函数和一些生活场景，那么你们能说出这些函数所表达的实际意义吗？

生：能！

师：请看大屏幕！（点击屏幕）依次点击出现三个函数和三个生活场景：

（1）                     生：一个游泳池的容积为2000(单位:m³ )，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位:m³ /h) 的变化而变化。当容积一定时，注满水池所用的时间t是注水速度v的反比例函数（老师引导得出）

 

（2）                   生：某长方体的体积为1000(单位:cm³ )，长方体的高h(单位:cm)随底面积S(单位:cm²) 的变化而变化。长方体的体积一定时高h是底面积s的反比例函数

 

 

师：这样我们从实际问题中抽象出了反比例函数的概念，又把反比例函数应用到了实际生活当中去，这不正体现了我们的数学知识来源于生活，而又服务于生活吗？那么下面让我们利用反比例函数的相关知识解答几个数学问题（点击屏幕，出现例题）请大家拿出笔做一做！

点评：求函数关系式的主要方法：待定系数法

例:   已知y与x成反比例，并且当x=3时y=4.

（1）写出y和x之间的函数关系式；

（2）求x=1.5时y的值。

解：（略）（学生演板）

师：下面请一位同学点评一下，给他打分（满分是10分）

生：10分。（为什么给满分呢）

师：这种我们求函数关系式的方法在前面学习正比例函数和一次函数的时候好像用过吧？

生：用过

师：叫什么来着？

 生：待定系数法

师：.这是我们求函数关系式的主要方法：待定系数法 

师：老师引导边说边板书上述点评（写完后点击屏幕）

师：如果把题目当中的y与x成反比例改成y与x²成反比例，其它条件不变，又有怎样的结果呢？请大家做一做！（点击屏幕，出现变式一）

点评：求函数关系式的主要方法：待定系数法

变式一:   已知y与x²成反比例，并且当x=3时y=4.

（1）写出y和x之间的函数关系式；

（2）求x=1.5时y的值。

解：（略）（学生演板）

生：学生在下面做。

师：下面还是请一位同学给他打分

生：10分

师：为什么给10分呢？（为什么要扣掉2分呢）

师：请大家比较一下所求出来的两个函数关系式：第一个y是x的什么函数？

生：反比例函数

师：第二个能说y是x的反比例函数，

生：不能

师：为什么？

生：因为它不符合我反比例函数的形式（教师引导得出）

师：对。我们可以说y与x的平方成反比例。由此可见成反比例和反比例函数是两个不同的概念，要区别开来。

师：我们刚才求函数关系式的时候还是用到了待定系数法老师引导边说边板书上述点评（写完后点击屏幕）

师：如果把例题中的y与x成反比例再改一改，改成y=y₁+y₂ ， y₁与x成正比例，y₂ 与x成反比例，且当x=1时，y=4;当x=2时，y=5，其它条件不变，请打家再做一做！（点击屏幕，出现变式二）

变式二： 已知函数y=y₁+y₂ ， y₁与x成正比例，y₂ 与x成反比例，

且当x=1时，y=4;当x=2时，y=5

（1）求y与x的函数关系；

点评：函数关系式中不同的k值应用不同的字母表示

（2）当x=1.5时y的值是多少？

解：（略）（学生演板）

生：学生在下面做。

师：仍然请一位同学来给他打打分

生：10分

师：可见在做这个题时要特别注意哪个地方

生：函数关系式中不同的k值应用不同的字母表示

师：要注意函数关系式中不同的k值应用不同的字母表示，边说边板书点评（写完后点击屏幕）

 

 

师：咱么今天的新课就讲到这里。让我们一起回顾一下今天你学到了哪些知识？你有什么收获？（点击屏幕，出现问题）

 

 

生：老师引导学生一起畅谈收获，总结所学知识。强调要注意的几点。（总结完后点击屏幕）

（1）反比例函数的概念：y=（k为常数，且k≠0）x的取值范围为x≠0，

（2）求函数关系式的常用方法：待定系数法

师：最后布置作业（点击屏幕）

师：好！下课

生：老师再见！

师：同学们再见！